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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Sa 27.04.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Gegeben sei das Polynom [mm] $p(x)=2x^5-5x^4-12x^3+63x^2+76x-52$.
[/mm]
a) Man bestimme die Nullstellen von $p(x)$.
b) Geben Sie $p(x)$ als Produkt von irreduziblen Polynomen an. Ein Polynom heißt irreduzibel, wenn es keine Nullstellen in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] hat.
c) Plotten Sie $p(x)$.
d) Bestimmen Sie die Nullstellen von $p'(x)$ und $p''(x)$.
e) Geben Sie ein Polynom vom Grad 4 an, das nur einfache Nullstellen in 2 und 5 hat.
f) Geben Sie ein Polynom vom Grad 3 an, das bei $x=1$ ein Minimum und bei $x=3$ ein Maximum hat. |
Hey, ich denke, daß ich die Aufgaben a), c), d) und e) hinbekommen habe; nicht jedoch die Aufgabe b) und f).
Zu a):
| 1: | polynom=[2,-5,-12,63,76,-52];
| | 2: | nullstellen=roots(polynom) |
Dies liefert die Nullstellen [mm] $x_1=3+2i,x_2=3-2i,x_3=-2,x_4=-2,x_5=0.5$.
[/mm]
Zu c):
| 1: | x=0:20;
| | 2: | y=polyval(Polynom,x);
| | 3: | plot(x,y); |
Zu d):
| 1: | d1=polyder(polynom);
| | 2: | d2=polyder(d1);
| | 3: | nullstellend1=roots(d1);
| | 4: | nullstellend2=roots(d2); |
Die Nullstellen der 1. Ableitung sind [mm] $x_1=2.2752+1.3145i,x_2=2.752-1.3145i,x_3=-2,x_4=0.5504$.
[/mm]
Die Nullstellen der 2. Ableitung sind [mm] $y_1=-1.3983,y_2=1.4492+0.3907i,y_3=1.4492-0.3907i$.
[/mm]
Zu e):
poly([2 5]);
Das ergibt das Polynom [mm] $q(x)=x^4-7x^3+10x^2$.
[/mm]
Stimmen meine Antworten?
Wie löst man die Aufgaben b) und f)?
Ideen zu f):
Es ist mir klar, dass hier Kurvendiskussion gefordert ist:
Die Ableitung des gesuchten Polynoms $s(x)$ ist vom Grad 2 und muss Nullstellen bei $x=1$ und $x=3$ haben. Ein solches Polynom erhält man doch durch
ds=poly([1 3]);
Das liefert das Polynom [mm] $s'(x)=x^2-4x+3$.
[/mm]
Nun muss ja aber auch gelten, daß $s''(1)>0$ und $s''(3)<0$. Wie bekomme ich das nun noch hin?
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Schönen Sonntag,
hast du deine Matlab-Woche ?
> Gegeben sei das Polynom [mm]p(x)=2x^5-5x^4-12x^3 63x^2 76x-52[/mm].
>
> a) Man bestimme die Nullstellen von [mm]p(x)[/mm].
> b) Geben Sie [mm]p(x)[/mm] als Produkt von irreduziblen Polynomen
> an. Ein Polynom heißt irreduzibel, wenn es keine
> Nullstellen in [mm]\mathbb{R}[/mm] hat.
Naja diese Definition von irreduzibel ist völliger Humbug!
> c) Plotten Sie [mm]p(x)[/mm].
> d) Bestimmen Sie die Nullstellen von [mm]p'(x)[/mm] und [mm]p''(x)[/mm].
> e) Geben Sie ein Polynom vom Grad 4 an, das nur einfache
> Nullstellen in 2 und 5 hat.
> f) Geben Sie ein Polynom vom Grad 3 an, das bei [mm]x=1[/mm] ein
> Minimum und bei [mm]x=3[/mm] ein Maximum hat.
> Hey, ich denke, daß ich die Aufgaben a), c), d) und e)
> hinbekommen habe; nicht jedoch die Aufgabe b) und f).
>
> Zu a):
> | 1: | polynom=[2,-5,-12,63,76,-52];
| | 2: | > nullstellen=roots(polynom) |
> Dies liefert die Nullstellen
> [mm]x_1=3 2i,x_2=3-2i,x_3=-2,x_4=-2,x_5=0.5[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zu c):
> | 1: | x=0:20;
| | 2: | > y=polyval(Polynom,x);
| | 3: | > plot(x,y); |
"Polynom" kleingeschrieben. Außerdem ist der bereich langeweilig. Probier mal "x=-20:20;".
>
> Zu d):
> | 1: | d1=polyder(polynom);
| | 2: | > d2=polyder(d1);
| | 3: | > nullstellend1=roots(d1);
| | 4: | > nullstellend2=roots(d2); |
> Die Nullstellen der 1. Ableitung sind
> [mm]x_1=2.2752 1.3145i,x_2=2.752-1.3145i,x_3=-2,x_4=0.5504[/mm].
> Die Nullstellen der 2. Ableitung sind
> [mm]y_1=-1.3983,y_2=1.4492 0.3907i,y_3=1.4492-0.3907i[/mm].
>
> Zu e):
> poly([2 5]);
> Das ergibt das Polynom [mm]q(x)=x^4-7x^3 10x^2[/mm].
zwar nicht direkt, aber ok.
>
>
> Stimmen meine Antworten?
>
> Wie löst man die Aufgaben b) und f)?
>
>
> Ideen zu f):
>
> Es ist mir klar, dass hier Kurvendiskussion gefordert ist:
> Die Ableitung des gesuchten Polynoms [mm]s(x)[/mm] ist vom Grad 2
> und muss Nullstellen bei [mm]x=1[/mm] und [mm]x=3[/mm] haben. Ein solches
> Polynom erhält man doch durch
> ds=poly([1 3]);
> Das liefert das Polynom [mm]s'(x)=x^2-4x 3[/mm].
> Nun muss ja aber auch gelten, daß [mm]s''(1)>0[/mm] und [mm]s''(3)<0[/mm].
> Wie bekomme ich das nun noch hin?
Mach doch einfach ein polyfit durch die Punkte (1,-10), (3,10) und zwei weitere gut gewählte.
zur b) Du kennst die Nullstellen der Funktion. Jedes Polynom vom Grad 1 ist irreduzibel über einem Körper. Wenn du mittels "deconv" Polynomdidivision durch Polynome der Art [mm] $x-\alpha$ [/mm] mit [mm] $\alpha$ [/mm] ist Nullstelle durchführst Kannst du das produkt der irreduziblen Polynome so aufschreiben [mm] $p(x)=r(x)\cdot \prod_{\alpha \in \IR : p(\alpha)=0}(x-\alpha)$ [/mm] wobei $r(x)$ der Rest nach der Polynomdivision ist
Gruß
wieschoo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 So 28.04.2013 | | Autor: | mikexx |
Hey, danke.
Ja, bei mir ist im Moment Matlab-time...
> Mach doch einfach ein polyfit durch die Punkte (1,-10),
> (3,10) und zwei weitere gut gewählte.
Das habe ich noch nicht verstanden, wie Du das meinst.
>
> zur b) Du kennst die Nullstellen der Funktion. Jedes
> Polynom vom Grad 1 ist irreduzibel über einem Körper.
> Wenn du mittels "deconv" Polynomdidivision durch Polynome
> der Art [mm]x-\alpha[/mm] mit [mm]\alpha[/mm] ist Nullstelle durchführst
> Kannst du das produkt der irreduziblen Polynome so
> aufschreiben [mm]p(x)=r(x)\cdot \prod_{\alpha \in \IR : p(\alpha)=0}(x-\alpha)[/mm]
> wobei [mm]r(x)[/mm] der Rest nach der Polynomdivision ist
Okay, meine Rechnung ergibt, dass das Polynom sich reell faktorisieren lässt in der Form:
[mm] $p(x)=(x+2)^2\cdot (x-0,5)\cdot [/mm] r(x)$ mit
[mm] $r(x)=2x^2-12x+26$.
[/mm]
$r(x)$ hat nur noch komplexe Nullstellen.
Und ich verstehe die Aufgabe so, dass hier nach dieser reellen Faktorisierung gefragt ist.
In Matlab:
| 1: | >> p=[2,-5,-12,63,76,-52];
| | 2: | >> q=deconv(p,[1,4,4])
| | 3: |
| | 4: | q =
| | 5: |
| | 6: | 2 -13 32 -13
| | 7: |
| | 8: | >> r=deconv(q,[1,-0.5])
| | 9: |
| | 10: | r =
| | 11: |
| | 12: | 2 -12 26
| | 13: |
| | 14: | >> nullst=roots(r)
| | 15: |
| | 16: | nullst =
| | 17: |
| | 18: | 3.0000 + 2.0000i
| | 19: | 3.0000 - 2.0000i |
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> > Mach doch einfach ein polyfit durch die Punkte (1,-10),
> > (3,10) und zwei weitere gut gewählte.
>
> Das habe ich noch nicht verstanden, wie Du das meinst.
Bei einem polynom vom Grad 3 kann man vier Punkte exakt interpolieren. In der Grafik sind die blau markierten Punkte Extrema. Wähle noch zwei weitere Punkte und führe eine Polynominterpolation durch
[Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> > zur b) Du kennst die Nullstellen der Funktion. Jedes
> > Polynom vom Grad 1 ist irreduzibel über einem Körper.
> > Wenn du mittels "deconv" Polynomdidivision durch Polynome
> > der Art [mm]x-\alpha[/mm] mit [mm]\alpha[/mm] ist Nullstelle durchführst
> > Kannst du das produkt der irreduziblen Polynome so
> > aufschreiben [mm]p(x)=r(x)\cdot \prod_{\alpha \in \IR : p(\alpha)=0}(x-\alpha)[/mm]
> > wobei [mm]r(x)[/mm] der Rest nach der Polynomdivision ist
>
> Okay, meine Rechnung ergibt, dass das Polynom sich reell
> faktorisieren lässt in der Form:
>
> [mm]p(x)=(x+2)^2\cdot (x-0,5)\cdot r(x)[/mm] mit
Ne eher
$p(x)=(x+2)(x+2)(x-0.5)$
Denn [mm] $(x+2)^2$ [/mm] ist nicht irreduzibel aber jeweils ist $x+2$ selber irreduzibel. Die Faktoren sind also
x+2
x+2
x-0.5
r(x)
>
> [mm]r(x)=2x^2-12x+26[/mm].
>
> [mm]r(x)[/mm] hat nur noch komplexe Nullstellen.
>
> Und ich verstehe die Aufgabe so, dass hier nach dieser
> reellen Faktorisierung gefragt ist.
Es sind schon die Faktoren gewünscht. Aber die Faktoren mit reellen Nullstellen sind ja nun wirklich abzulesen.
>
> In Matlab:
> | 1: | >> p=[2,-5,-12,63,76,-52];
| | 2: | > >> q=deconv(p,[1,4,4])
| | 3: | >
| | 4: | > q =
| | 5: | >
| | 6: | > 2 -13 32 -13
| | 7: | >
| | 8: | > >> r=deconv(q,[1,-0.5])
| | 9: | >
| | 10: | > r =
| | 11: | >
| | 12: | > 2 -12 26
| | 13: | >
| | 14: | > >> nullst=roots(r)
| | 15: | >
| | 16: | > nullst =
| | 17: | >
| | 18: | > 3.0000 + 2.0000i
| | 19: | > 3.0000 - 2.0000i |
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mo 29.04.2013 | | Autor: | mikexx |
Hey, ich stell mich bei der Aufgabe f wohl ziemlich blöde an, aber ich bekomme das mit Deinem Vorschlag nicht hin.
Wähle ich etwa die Punkte (1/-10), (3/10), (2/-7) und (4/8), ergibt sich das Polynom [mm] $p(x)=-5.5x^3+40x^2-78.5x+34$, [/mm] aber das hat kein Minimum bei x=1 und kein Maximum bei x=3.
Ich weiß nicht, wie ich die beiden anderen Punkte wählen muss, damit auch tatsächlich ein Minimum bei x=1 und ein Maximum bei x=3 liegt.
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Tatsächlich erhält man i.A. gar nicht das gesuchte Polynom (sondern ein Polynom, welches durch die Punkte verläuft)
Man kann es dennoch mit Matlab lösen:
Für [mm]p(x)=x^3+ax^2+bx[/mm] und [mm]p'(x)=3x^2+2ax+b[/mm] hat man ein LGS:
inv([2 1;6 1])*[-3;-27]
Mit Lösung [mm]a=-6,b=9[/mm]. Also lautet das Polynom
[mm]p(x)=x^3-6x^2+9x[/mm]
[mm]p'(x)=3x^2-12x+9[/mm]
[mm]p''(x)=6x-12\implies p''(1)=-6<0,p''(3)=6>0[/mm]
Da jedoch hier Maximum und Minimum vertauscht ist, ist das gesuchte Polynom $-p(x)$
Der Parameter $d$ ist in [mm] $x^3+ax^2+bx+d$ [/mm] völlig schnuppe.
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> > Zu a):
> > | 1: | polynom=[2,-5,-12,63,76,-52];
| | 2: | > > nullstellen=roots(polynom) |
> > Dies liefert die Nullstellen
> > [mm]x_1=3 2i,x_2=3-2i,x_3=-2,x_4=-2,x_5=0.5[/mm].
> ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nein, ich protestiere heftig !
Die da stehenden Werte können nicht Nullstellen
eines Polynoms 5. Grades mit reellen Koeffizienten
sein.
Da scheint sich beim Kopieren ein Pluszeichen
davongeschlichen zu haben, aber: mikexx hatte
schon die richtigen Lösungen ... 
LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Mo 29.04.2013 | | Autor: | wieschoo |
Gut aufgepasst!
Da ist mir wohl der Bug:
https://matheraum.de/read?i=962902
selber auf die Füße gefallen. Ich werd mal mit dem Programmierer ein ernstes Wörtchen reden...
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