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| Aufgabe | Für jede Polynomfkt f(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n} ak*x^k [/mm] gilt
[mm] \integral_{0}^{x}{f(t)*e^t dt} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^k*(f^{k}(x)*e^x-k!ak) [/mm] |
hallo!
ich habs hier mit einer induktion versucht bin aber auf kein ergebnis gekommen; wie kann ich denn dabei vorgehn?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 So 26.04.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo Christina,
was genau soll denn da gelten? Überprüf doch bitte nochmal die Aufgabe...
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:42 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal!
Ich nehme mal an, es soll heißen
[mm] $\int\limits_0^x f(t)e^t dt=\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k\left(f^{(k)}(x)e^x-k!\ a_k\right)$
[/mm]
Zunächst solltest du dir mal die ersten Ableitungen von $f(x)$ aufschreiben:
[mm] $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots +a_nx^n$
[/mm]
[mm] $f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\ldots [/mm] + [mm] na_nx^{n-1}$
[/mm]
[mm] $f''(x)=2a_2+6a_3x+12a_4x^2+20a_5x^3+\ldots [/mm] + [mm] n(n-1)a_nx^{n-2}$
[/mm]
[mm] $\quad$ $\vdots$
[/mm]
Vielleicht musst du noch ein paar hinschreiben, um die späteren Schritte nachvollziehen zu können...
So, jetzt integrieren wir die linke Seite mehrmals ![[]](/images/popup.gif) partiell.
[mm] $\int\limits_0^x [/mm] f(t) [mm] e^t [/mm] dt= [mm] \left[f(t)e^t\right]\limits_0^x-\int\limits_0^x f'(t)e^t dt=f(x)e^x-f(0)e^0-\left[f'(t)e^t\right]_0^x+\int\limits_0^x f''(t)e^t [/mm] dt $
Es ist [mm] $e^0=1$ [/mm] und [mm] $f(0)=a_0$. [/mm] Also
[mm] $\int\limits_0^x f(t)e^t dt=f(x)e^x-a_0-f'(x)e^x+f'(0)+f''(x)e^x-f''(0)-\int\limits_0^x [/mm] f'''(t)e^tdt$
Jetzt sortieren wir um und klammern [mm] $e^x$ [/mm] aus:
[mm] $\int\limits_0^x f(t)e^t [/mm] dt= [mm] \left(f(x)-f'(x)+f''(x)\right)e^x -a_0+a_1+2a_2 -\int\limits_0^x [/mm] f'''(t)e^tdt$
Wenn wir das jetzt als Summe schreiben wollen, brauchen wir einen Ausdruck für [mm] $f^{(k)}(0)$ [/mm] - darum solltest du dir die Ableitungen aufschreiben...
Man sieht (oder beiweist seperat), dass [mm] $f^{(k)}(0)=k!\ a_k$.
[/mm]
Wenn du jetzt solange weiter partiell integrierst, bis die Ableitungen verschwinden (ab der $(n+1)$-ten) und das Ganze als Summe schreibst, ergibt sich:
[mm] $\int\limits_0^x f(t)e^t dt=\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k f^{(k)}(x)e^x-\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k [/mm] k!\ [mm] a_k$
[/mm]
Als eine Summe geschrieben, ist das die Gleichung aus der Behauptung.
Hilft dir das weiter?
Lieben Gruß,
Fulla
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