Polynomiale Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 Mi 07.11.2007 | | Autor: | D-C |
| Aufgabe | Eine Abbildung f: [mm] \IR \to \IR [/mm] heißt polynomial wenn es ein n [mm] \in \IN [/mm] und
[mm] a_{0} [/mm] , ... , [mm] a_{n} \in \IR [/mm] gibt, so dass für jedes x [mm] \in \IR [/mm] gilt
f(x) = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] x + [mm] a_{2} [/mm] x² + ... + [mm] a_{n} x^{n}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Menge der polynomialen Abbildungen in [mm] M(\IR [/mm] , [mm] \IR)
[/mm]
ein Untervektorraum des [mm] \IR [/mm] - Vektorraumes M [mm] (\IR [/mm] , [mm] \IR) [/mm] ist. |
Hat, jemand eine Idee wie man das machen soll?
Gruß
D-C
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> Eine Abbildung f: [mm]\IR \to \IR[/mm] heißt polynomial wenn es ein
> n [mm]\in \IN[/mm] und
> [mm]a_{0}[/mm] , ... , [mm]a_{n} \in \IR[/mm] gibt, so dass für jedes x [mm]\in \IR[/mm]
> gilt
>
> f(x) = [mm]a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}[/mm] x + [mm]a_{2}[/mm] x² + ... + [mm]a_{n} x^{n}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass die Menge der polynomialen Abbildungen in
> [mm]M(\IR[/mm] , [mm]\IR)[/mm]
> ein Untervektorraum des [mm]\IR[/mm] - Vektorraumes M [mm](\IR[/mm] , [mm]\IR)[/mm]
> ist.
> Hat, jemand eine Idee wie man das machen soll?
Hallo,
da Ihr offensichtlich bereits gezeigt habt, daß M [mm](\IR[/mm] , [mm]\IR)[/mm] ein VR über [mm] \IR [/mm] ist, brauchst Du nur die Kriterien für "Unterraum" nachweisen.
Nennen wir die Menge dieser pol. Abbildungen mal P [mm](\IR[/mm] , [mm]\IR)[/mm] .
Dann ist zu zeigen:
1. P [mm](\IR[/mm] , [mm]\IR)[/mm][mm] \not=\emptyset
[/mm]
(eine Abb. angeben)
2. [mm] f_1, f_2 \in [/mm] P [mm](\IR[/mm] , [mm]\IR)[/mm] ==> [mm] f_1 [/mm] + [mm] f_2 \in [/mm] P [mm](\IR[/mm] , [mm]\IR)[/mm].
3. [mm] f_1 \in [/mm] P [mm](\IR[/mm] , [mm]\IR)[/mm], [mm] r\in \IR [/mm] ==> [mm] rf_1 \in [/mm] P [mm](\IR[/mm] , [mm]\IR)[/mm]
Gruß v. Angela
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