Polynomialkoeffizient < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:06 Fr 28.08.2009 | | Autor: | hilado |
| Aufgabe | Seien [mm] k_{1}, [/mm] ..., [mm] k_{r}, [/mm] m [mm] \in [/mm] N so, dass [mm] \summe_{j=1}^{r} k_{j} [/mm] = m.
1. Zeigen Sie, dass die Polynomialkoeffizienten [mm] \vektor{m \\ k_{1},...,k_{r}} [/mm] die Anzahl der Möglichkeiten angibt, eine m-Menge in Teilmengen der Mächtigkeiten [mm] k_{1},...,k_{r} [/mm] zu zerlegen.
2. Beweisen Sie den in der Vorlesung vorgestellten polynomischen Satz (auch: Multinominalsatz). |
1. Ein kleiner Denkanstoß wär nicht schlecht.
2. Bei der Aufgabe kann ich das doch über eine Induktion machen oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:41 Fr 28.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien [mm]k_{1},[/mm] ..., [mm]k_{r},[/mm] m [mm]\in[/mm] N so, dass [mm]\summe_{j=1}^{r} k_{j}[/mm]
> = m.
>
> 1. Zeigen Sie, dass die Polynomialkoeffizienten [mm]\vektor{m \\ k_{1},...,k_{r}}[/mm]
> die Anzahl der Möglichkeiten angibt, eine m-Menge in
> Teilmengen der Mächtigkeiten [mm]k_{1},...,k_{r}[/mm] zu zerlegen.
>
> 2. Beweisen Sie den in der Vorlesung vorgestellten
> polynomischen Satz (auch: Multinominalsatz).
>
> 1. Ein kleiner Denkanstoß wär nicht schlecht.
Das kannst du per Induktion nach $r$ machen. Fuer den Induktionsschritt setze $k'_1 := [mm] k_1, \dots, k_{r-2}' [/mm] := [mm] k_{r-2}, k_{r-1}' [/mm] := [mm] k_{r-1} [/mm] + [mm] k_r$: [/mm] eine Zerlegung einer $m$-Menge in Teilmengen der Maechtigkeiten [mm] $k_1, \dots, k_r$ [/mm] entspricht einer Zerlegung einer $m$-Menge in Teilmengen der Maechtigkeiten [mm] $k_1', \dots, k_{r-1}'$ [/mm] zusammen mit einer Zerlegung einer [mm] $k_{r-1}'$-Menge [/mm] in Teilmengen der Maechtigkeit [mm] $k_{r-1}, k_r$.
[/mm]
> 2. Bei der Aufgabe kann ich das doch über eine Induktion
> machen oder?
Ja.
LG Felix
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