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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:10 Sa 23.01.2010 | | Autor: | tux23 |
| Aufgabe | Sei k eine Körper, und X,Y Variablen. Zeigen Sie, daß die Multiplikation von Polynomen einen Isomorphismus von k-Vektorräumen induziert:
[mm] k[X]\otimes_k [/mm] k[Y] [mm] \overrightarrow{\cong} [/mm] k[X,Y].
(6 Punkte)
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Ich habe eine Lösung angefertigt, bin aber bei solchen abstrakten Sachen sehr unsicher, kann jmd. mal drüber schauen?
Lösung:
Ein Polynom ist ein Vektor:
Sei f ein Polynom der Form [mm] f=a_{0}x^0 [/mm] + [mm] a_{1}x^1 [/mm] + ... + [mm] a_{n}x^n.
[/mm]
Der zugehörige Vektor ist [mm] v_f=(a_0,a_1,...,a_n) [/mm] mit Grad n für [mm] a_n\not=0
[/mm]
Annahme: Die Menge der Polynome bildet einen k-Vektorraum.
zz.:1)Abgeschlossenheit der Subtraktion
2)Abgeschlossenheit der skalaren Multiplikation
3)ex. Nullelement/Vektor
zu 1)Normale Subtraktion von Vektoren. Bei Vektoren ungleicher Dimension/Polynomen ungl. Grades: "Auffüllen" mit Nullen.
zu 2) klar.
zu 3) das Nullelement ist der Nullvektor.
Annahme gezeigt.
Sei d(f,g) = c [mm] \in [/mm] k[X,Y], f [mm] \in [/mm] k[X], [mm] g\in [/mm] k[Y]
mit [mm] f:=f_0x^0+f_1x^1+...+f_mx^m [/mm] und
[mm] g:=g_0x^0+g_1x^1+...+g_nx^n [/mm] und [mm] f_n\not= 0,g_n\not= [/mm] 0 o.B.d.A.
und [mm] d(f,g)=\summe_{i=0}^{m}\summe_{j=0}^{n}f_ig_j
[/mm]
dann ist [mm] \otimes_k [/mm] kommutativ. klar. D.h. d(f,g)=d(g,f)
Zeige Injektivität:
sei a [mm] \in [/mm] k[Y], [mm] a\not= [/mm] g
Annahme: d(f,g)=d(f,a) [mm] \Rightarrow [/mm] g=a
d(f,g)=d(f,a)
[mm] \Rightarrow \summe_{i=0}^{m}\summe_{j=0}^{n}f_ig_j=\summe_{i=0}^{m}\summe_{j=0}^{z}f_ia_j
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{m}\summe_{j=0}^{n}f_ig_j/f=g
[/mm]
und
[mm] \summe_{i=0}^{m}\summe_{j=0}^{n}f_ig_j/f=a
[/mm]
dann auch g=a, wobei "/" die Polynomdivision darstellt.
Annahme gezeigt.
Surjektivität:
wenn f=0 und/oder g=0 dann d(f,g)=0.
sonst [mm] \summe_{i=0}^{m}\summe_{j=0}^{n}f_ig_j=d(f,g).
[/mm]
Damit wäre [mm] \otimes_k [/mm] eine bjektive Abb. zwischen k-Vektorräumen, also ein Isomorphismus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:09 Sa 23.01.2010 | | Autor: | SEcki |
Annahme: Die Menge der Polynome bildet einen k-Vektorraum.
Das kann man doch bei dieser Aufgabe vorraussetzen, oder? In der Aufgabe geht es doch um etwas anderes ...
> Sei d(f,g) = c [mm]\in[/mm] k[X,Y], f [mm]\in[/mm] k[X], [mm]g\in[/mm] k[Y]
Was ist d denn genau? d lebt doch auf [m]k[X]\times k[Y][/m], dh eine bilineare Abbildung.
> mit [mm]f:=f_0x^0+f_1x^1+...+f_mx^m[/mm] und
> [mm]g:=g_0x^0+g_1x^1+...+g_nx^n[/mm] und [mm]f_n\not= 0,g_n\not=[/mm] 0
> o.B.d.A.
> und [mm]d(f,g)=\summe_{i=0}^{m}\summe_{j=0}^{n}f_ig_j[/mm]
> dann ist [mm]\otimes_k[/mm] kommutativ. klar. D.h. d(f,g)=d(g,f)
Nein, d ist nicht kommutativ (sonst wäre die Abbildung auch kein Iso), du hast hier quasi zwei unterschiedliche Variablen - X und Y, die sind getrennt zu betrachten. Im übrigen ist auch das Tensorprodukt nie kommutativ - es ist es nach Konstruktion nicht.
> Zeige Injektivität:
> sei a [mm]\in[/mm] k[Y], [mm]a\not=[/mm] g
> Annahme: d(f,g)=d(f,a) [mm]\Rightarrow[/mm] g=a
Also die bi.lin. Abb. ist nicht injektiv, sondern nur nicht entartet (kann ja gar nicht injektiv sein!).
> [mm]\summe_{i=0}^{m}\summe_{j=0}^{n}f_ig_j/f=g[/mm]
> und
> [mm]\summe_{i=0}^{m}\summe_{j=0}^{n}f_ig_j/f=a[/mm]
> dann auch g=a, wobei "/" die Polynomdivision darstellt.
> Annahme gezeigt.
Was machst du hier?!
> Surjektivität:
> wenn f=0 und/oder g=0 dann d(f,g)=0.
> sonst [mm]\summe_{i=0}^{m}\summe_{j=0}^{n}f_ig_j=d(f,g).[/mm]
Häh?
> Damit wäre [mm]\otimes_k[/mm] eine bjektive Abb. zwischen
> k-Vektorräumen, also ein Isomorphismus.
Und die Linearität?
Also ich würde das so machen: dein d ist eben die Multiplikation, die bilinear ist. Sie ist a) nicht entartet sowie b) surjektiv. Nun gibt es anch universeller Eigenschaft eine lineare Abb. vom Tensorprodukt in den Raum - die ist auch surjektiv (ziemlich klar) und auch injektiv (nicht Entartetheit nutzen), also ein Iso.
SEcki
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