Polynomring, Einheit < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Do 01.01.2015 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei R ein Integritätsbereich.
I) Zeigen Sie, dass gilt:
[mm] $R[T]^{\ast}=R^{\ast}$.
[/mm]
II) Sei [mm] $r\in [/mm] R$ irreduzibel (bzw. prim). Zeigen Sie, dass $r$ irreduzibel (bzw. prim) in $R[T]$ ist. |
Hi,
ich bearbeite gerade diese Aufgabe und wollte fragen, ob ich so richtig vorgegangen bin:
I)
Ich soll zeigen, dass die Einheiten im Polynomring genau die Einheiten des Ringes sind.
Zu erst zeige ich, dass gilt
grad(f*g)=grad(f)+grad(g)
Sei [mm] $f,g\in [/mm] R[T]$ mit (wobei f ung g nicht das Nullpolynom sind)
[mm] $f=a_0+a_1T+...+a_nT^n$
[/mm]
[mm] $g=b_0+b_1T+...+b_mT^m$
[/mm]
mit [mm] $a_n, b_m\neq [/mm] 0$. Da $R$ ein Integritätsbereich ist, ist $R[T]$ ein Integritätsbereich und es ist [mm] $a_nb_m\neq [/mm] 0$.
Dann ist $grad(f)=n$ und $grad(g)=m$
[mm] $fg=a_0b_0+...+a_nb_mT^{n+m}$
[/mm]
Also $grad(fg)=n+m=grad(f)+grad(g)$
Mir gefällt es ehrlich gesagt nicht so gut wie ich es aufschreibe, also diese "Pünktchenschreibweise".
Nun zur Aussage:
Sei [mm] $f\in R[T]^{\ast}$. [/mm] Dann gibt es ein [mm] $f^{-1}\in [/mm] R[T]$ mit [mm] $f*f^{-1}=1$.
[/mm]
[mm] $grad(f*f^{-1})=grad(1)=0$ [/mm] also
[mm] $grad(f)+grad(f^{-1})=0$
[/mm]
Da $f$ und [mm] $f^{-1}$ [/mm] von Null verschieden sind ist der Grad jeweils [mm] $\geq [/mm] 0$.
Dann muss der Grad aber bereits in beiden Fällen Null sein, also
$grad(f)=0$ und [mm] $grad(f^{-1})=0$ [/mm] und somit $f, [mm] f^{-1}\in R^{\ast}$.
[/mm]
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Das ist genau richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Fr 02.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Für die zweite Aufgabe, beinhaltet diese zwei Aufgaben, also ich muss es jeweils für r prim und r irreduzibel zeigen, oder heißt das, dass die Begriffe hier synonym verwendet werden?
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Da $ R $ ein Integritätsring ist, ist auch $ R [X] $ ein solcher und in Integritätsringen ist jedes Primelement auch irreduzibel, die Umkehrung gilt jedoch nicht immer. Die Begriffe sind nicht Synonym und es handelt sich um zwei Einzelaufgaben.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Fr 02.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ok, hatte ich bereits befürchtet. Dann werde ich mal sehen, was sich da machen lässt. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Sa 03.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Müsste der Schluss
[mm] $r\in [/mm] R$ [mm] irreduzibel$\Rightarrow r\in [/mm] R[T]$ irreduzibel
nicht trivial sein?
Da r irreduzibel ist $r=xy$ mit [mm] $x,y\in [/mm] R$ und $x$ oder $y$ Einheit.
[mm] $r\in [/mm] R[T]$ ist das konstante Polynom.
Die Zerlegung im Polynomring ist also gleich. Und weil die Einheiten in R die Einheiten in R[T] sind, folgt die Behauptung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Sa 03.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Müsste der Schluss
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> [mm]r\in R[/mm] irreduzibel[mm]\Rightarrow r\in R[T][/mm] irreduzibel
>
> nicht trivial sein?
Das gerade nicht: da das Universum vergroessert wurde, koennte sich das, was im kleinen nicht zerlegbar war als zerlegbar erweisen. Trivial ist allenfalls die andere Richtung.
>
> Da r irreduzibel ist [mm]r=xy[/mm] mit [mm]x,y\in R[/mm] und [mm]x[/mm] oder [mm]y[/mm]
> Einheit.
Was willst Du damit sagen?
>
> [mm]r\in R[T][/mm] ist das konstante Polynom.
Das konstante Polynom?
>
> Die Zerlegung im Polynomring ist also gleich.
Sicher? S.o.
> Und weil die
> Einheiten in R die Einheiten in R[T] sind, folgt die
> Behauptung?
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Sa 03.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Was ist denn r im Polynomring?
Wie "überführe" ich dies. Ich hätte gedacht r wäre dann einfach das Polynom:
[mm] $r+r_1T+r_2T^2+...r_nT^n$
[/mm]
mit [mm] $r_1, [/mm] ..., [mm] r_n=0$
[/mm]
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Ja. (Wie viele Potenzen mit Koeffizient Null du dahinter noch schreibst, ist natürlich egal.) Alle Elemente dieser Form bilden einen Unterring von $ R [T] $, der offensichtlich isomorph zu $ R$ ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Sa 03.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ja, und von diesem r, was nun ein Element aus dem Polynomring $R[T]$ ist, kenne ich ja die Zerlegung r=xy, wovon o.B.d.A x eine Einheit ist. Und die damit ist x auch eine Einheit in $R[T]$. Also ist r über R[T] irreduzibel.
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Das klingt so, als würde der Schluss für jede Ringerweiterung gelten. Aber bloß weil $ X-1$ irreduzibel in $ R [X] $ ist, ist es das ja nicht in $ R  X $. Es gibt zwar keine nichttriviale Zerlegung r=xy in R, aber es könnte ja theoretisch solche x, y in R [X] geben. Dass es das nicht gibt, solltest du hier noch kurz begründen - wenngleich es natürlich trivial ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Sa 03.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Aber das r in
[mm] $r+r_1T+...+r_nT^n$ [/mm] stimmt doch mit dem [mm] $r\in [/mm] R$ überein.
Also ist [mm] $r\in [/mm] R[T]$ mit $deg(r)=0$
Und wegen r=xy wobei x Einheit ist und dies auch eine Einheit in R[T] ist.
Ich weiß nicht wie ich jetzt weiter begründen soll, dass ich nicht weiter zerlegbar ist. Ich habe hier doch sogesehen das selbe Element wie in R vorliegen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Sa 03.01.2015 | | Autor: | hippias |
Du zerlegst jetzt in $R[T]$. Also seien [mm] $x,y\in [/mm] R[T]$ mit $r=xy$. Jetzt musst Du nur noch zeigen, dass $x$ oder $y$ in $R[T]$ invertierbar ist. Das ist nicht schwer, aber Du musst eben von der richtigen Gleichung ausgehen. Die bereits getroffenen Feststellungen werden Dir sicher hilfreich sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Sa 03.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ok, dass ist dann einfach.
r=xy
Also gilt r|x oder r|y wenn r|x dann ist
x=sr für ein [mm] $s\in [/mm] R[T]$ wenn ich y multipliziere erhalte ich
r=sry da $R[T]$ integritätsbereich kann ich kürzen, also
1=sy somit ist y Invertierbar, also Einheit in $R[T]$
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> Ok, dass ist dann einfach.
>
> r=xy
>
> Also gilt r|x oder r|y wenn r|x dann ist
Wieso denn das?? Es ist $ 10=2*5$, also [mm] $10\mid [/mm] 2$?
Welchen Grad müssen x und y haben?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
> x=sr für ein [mm]s\in R[T][/mm] wenn ich y multipliziere erhalte
> ich
>
> r=sry da [mm]R[T][/mm] integritätsbereich kann ich kürzen, also
>
> 1=sy somit ist y Invertierbar, also Einheit in [mm]R[T][/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 So 04.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ups, ich habe irreduzibel mit prim vertauscht...
x und y müssen Grad Null haben, weil grad(r)=0, also sind x und y Elemente aus R.
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Und wegem Irreduzibilität in R ist eins davon eine Einheit, genau.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 So 04.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Dann war ja die einzige Begründung die gefehlt hat die mit dem Grad?
Ok danke. :)
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Ja.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 So 04.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Naja, die weitere Aussage folgt dann ja so gesehen genauso.
r ist prim in R und hat in R[T] den Grad Null.
Weil r prim ist für r|xy entweder r|x oder r|y. Der Grad von x und y ist ebenfalls Null.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 So 04.01.2015 | | Autor: | hippias |
Ich mag mich irren, aber ich habe den Eindruk, dass Du etwas wesentliches uebersiehst. $r$ ist irreduzibel in $R$, d.h. wenn [mm] $x,y\in [/mm] R$ mit $r= xy$, dann folgt $x$ oder $y$ ist eine Einheit in $R$. Du aber sollst ueberpruefen, ob $r$ auch irreduzibel in $R[T]$ ist. Dazu seien [mm] $\alpha,\beta\in [/mm] R[T]$ mit [mm] $r=\alpha\beta$.
[/mm]
Weil $r$ den Grad ... hat, haben [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] den Grad ..., d.h. [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] liegen sogar in .... Nach Voraussetzung ueber die Irreduzibilitaet von $r$, die erst jetzt anwendbar ist, folgt, dass [mm] $\alpha$ [/mm] oder [mm] $\beta$ [/mm] eine Einheit in $R$ ist. Dann ist es aber auch eine Einheit in $R[T]$, weil ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 So 04.01.2015 | | Autor: | YuSul |
> Weil [mm]r[/mm] den Grad 0 hat, haben [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] den Grad
> 0, d.h. [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] liegen sogar in R. Nach
> Voraussetzung ueber die Irreduzibilitaet von [mm]r[/mm], die erst
> jetzt anwendbar ist, folgt, dass [mm]\alpha[/mm] oder [mm]\beta[/mm] eine
> Einheit in [mm]R[/mm] ist. Dann ist es aber auch eine Einheit in
> [mm]R[T][/mm], weil das in der Teilfaufgabe zuvor gezeigt wurde...
Ich weiß nicht ob du dich darauf beziehst, aber die Teilaufgabe habe ich mit UniversellesObjekt bereits abgehandelt (hoffentlich korrekt).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 So 04.01.2015 | | Autor: | hippias |
Dann kann ich ja weitertraeumen... 
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In [mm] $\IZ [/mm] [T] $ gilt [mm] $2\mid [/mm] (2T)*T $, aber weder $ T $ noch $2T $ haben Grad Null.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hast du's?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:51 Mo 05.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Entschuldigung. Ich hatte die letzten Tage leider keine Zeit mich weiterhin damit zu beschäftigen.
Ich werde morgen daran weiterarbeiten. Und einen Vorschlag machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:44 So 11.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Sorry, dass ich so lange nichts geschrieben habe...
Hier mein Lösungsvorschlag.
Ich betrachte die Abbildung
f: [mm] R\to [/mm] R[T] mit
[mm] $r\mapsto r_T$ [/mm] (Den Index T schreibe ich nur hin damit klar ist von welchem Element ich Rede)
Es gilt [mm] $deg(r_T)=0$, [/mm] also ist [mm] $r_T\in [/mm] R$. Da [mm] $r\in [/mm] R$ prim ist, gilt für $r|xy$ [mm] ($x,y\in [/mm] R$), dass $r|x$ oder $r|y$ und es ist [mm] $r_T|x_Ty_T$ [/mm] mit [mm] $deg(x_T)=deg(y_T)=0$ [/mm] also ebenfalls Elemente von R.
Die Aussage folgt nun einfach, weil [mm] $r\in [/mm] R$ schon prim ist.
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Hallo,
du musst als $x,y$ beliebige Polynome zulassen. Nimm an, dass $r$ nicht prim in $R[T]$ ist, es existieren also Polynome $x,y$ mit [mm] $r\mid [/mm] xy$ aber [mm] $r\not\mid [/mm] x,y$. Betrachte die Leitkoeffizienten von $x,y,xy$ und folgere, dass $r$ nicht prim in $R$ ist.
Alternativ: $r$ ist prim genau dann, wenn $R/(r)$ ein Integritätsbereich [mm] $\not=0$ [/mm] ist. Es gilt $R[T]/(r)=R/(r)[T]$. Hieraus folgt die Behauptung.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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