Polynomringe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zu c [mm] \in \IR [/mm] betrachte [mm] K_c:=\IR\left[ X \right]/(X^2+c). [/mm] BEweise:
Für welche c ist [mm] K_c [/mm] ein Körper? Für welche c ist [mm] K_c [/mm] isomorph zu [mm] \IR [/mm] ? Für welche c ist [mm] K_c [/mm] isomorph zu [mm] \IC? [/mm] |
Bevor es um die ganzen Fragen geht, würde ich gerne wissen, wie genau man sich so einen Polynomring vorstellen kann. Ich teile den Ring praktisch durch modulo [mm] X^2+c [/mm] und bekomme dann Reste?
Die Definition von Körper ist ja praktisch ein komm. Ring, der auch für alle Elemente dieses Ringes die inversen Multiplikativen erhält.
Wie gehe ich vor, wenn ich wissen will für welche c das der Fall ist? Und wir kann ich mir die Isomorphie zwischen [mm] \IR [/mm] und diesem [mm] K_c [/mm] anschaulich vorstellen?
Wär nett, wenn mir jemand helfen könnte =)
Liebe Grüße,
E. Balotelli
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> Zu c [mm]\in \IR[/mm] betrachte [mm]K_c:=\IR\left[ X \right]/(X^2+c).[/mm]
> BEweise:
> Für welche c ist [mm]K_c[/mm] ein Körper? Für welche c ist [mm]K_c[/mm]
> isomorph zu [mm]\IR[/mm] ? Für welche c ist [mm]K_c[/mm] isomorph zu [mm]\IC?[/mm]
> Bevor es um die ganzen Fragen geht, würde ich gerne
> wissen, wie genau man sich so einen Polynomring vorstellen
> kann.
Hallo,
"vorstellen" sollst Du Dir gar nichts.
Der Ring der Polynome [mm] \IR[X] [/mm] enthält als Elemente Polynome mit Koeffizienten aus [mm] \IR,
[/mm]
die Verknüpfungen sind die Addition und die Multiplikation von Polynomen , so wie sie in der VL definiert wurden.
In dieser Aufgabe soll nun [mm] \IR[X] [/mm] modulo [mm] X^2+c [/mm] betrachtet werden.
Deine Mitschrift sollte Dir sagen:
[mm] f\equiv [/mm] g <==> [mm] (X^2+c) [/mm] teilt f-g.
[mm] \IR\left[ X \right]/(X^2+c) [/mm] enthält die Äquivalenzklassen modulo [mm] X^2+c.
[/mm]
In [f] sind alle Polynome, für die die Differenz mit f teilbar ist duch [mm] X^2+c.
[/mm]
Du könntest ja mal ein paar Polynome aufschreiben, die etwa in
[mm] [X^3+2X^2+1] [/mm] enthalten sind, um ein Gefühl für die Sache zu bekommen.
> Ich teile den Ring praktisch durch modulo [mm]X^2+c[/mm] und
> bekomme dann Reste?
> Die Definition von Körper ist ja praktisch ein komm.
> Ring, der auch für alle Elemente dieses Ringes die
> inversen Multiplikativen erhält.
> Wie gehe ich vor, wenn ich wissen will für welche c das
> der Fall ist?
Du mußt halt irgendwie überlegen, für welche c jedes Element außer dem Nullelement ein inverses hat.
> Und wir kann ich mir die Isomorphie zwischen
> [mm]\IR[/mm] und diesem [mm]K_c[/mm] anschaulich vorstellen?
Am besten gar nicht.
Sie sind isomorph, wenn es einen Isomorphismus gibt.
LG Angela
>
> Wär nett, wenn mir jemand helfen könnte =)
> Liebe Grüße,
> E. Balotelli
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kann.
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> Hallo,
>
> "vorstellen" sollst Du Dir gar nichts.
>
> Der Ring der Polynome [mm]\IR[X][/mm] enthält als Elemente Polynome
> mit Koeffizienten aus [mm]\IR,[/mm]
> die Verknüpfungen sind die Addition und die
> Multiplikation von Polynomen , so wie sie in der VL
> definiert wurden.
>
> In dieser Aufgabe soll nun [mm]\IR[X][/mm] modulo [mm]X^2+c[/mm] betrachtet
> werden.
>
> Deine Mitschrift sollte Dir sagen:
>
> [mm]f\equiv[/mm] g <==> [mm](X^2+c)[/mm] teilt f-g.
>
>
> [mm]\IR\left[ X \right]/(X^2+c)[/mm] enthält die Äquivalenzklassen
> modulo [mm]X^2+c.[/mm]
>
> In [f] sind alle Polynome, für die die Differenz mit f
> teilbar ist duch [mm]X^2+c.[/mm]
Also teilbar ohne Rest, dann?? Dann befindet sich praktisch für f-g das g in der Restklasse von Modulo [mm] X^2+c?
[/mm]
>
>
> Du könntest ja mal ein paar Polynome aufschreiben, die
> etwa in
>
> [mm][X^3+2X^2+1][/mm] enthalten sind, um ein Gefühl für die Sache
> zu bekommen.
>
Also zum Beispiel [mm] X^3 [/mm] ist ein darin enthaltenes Polynom. Ich hab jetzt mal c=1 gewählt. Wenn ich jetzt das mache was du sagst, und [mm] X^3+2X^2+1-X^3 [/mm] nehme, so bekomme ich ja [mm] 2X^2+2, [/mm] was durch [mm] X^2+1 [/mm] ohne Rest teilbar ist. Aber wenn ich für [mm] g:=2X^2 [/mm] nehme und das von f abziehe, ist die Differenz nicht durch [mm] X^2+1 [/mm] teilbar. Also liegt in dem Fall [mm] 2X^2 [/mm] nicht in der Restklasse, hab ich das so richtig verstanden?!
>
> > Ich teile den Ring praktisch durch modulo [mm]X^2+c[/mm] und
> > bekomme dann Reste?
> > Die Definition von Körper ist ja praktisch ein komm.
> > Ring, der auch für alle Elemente dieses Ringes die
> > inversen Multiplikativen erhält.
> > Wie gehe ich vor, wenn ich wissen will für welche c
> das
> > der Fall ist?
>
> Du mußt halt irgendwie überlegen, für welche c jedes
> Element außer dem Nullelement ein inverses hat.
Eigentlich besteht [mm]\IR\left[ X \right]/(X^2+c)[/mm] doch aus den Restklassen, das heißt hier zum Beispiel dem [mm] X^3. [/mm] Dieses muss multipliziert mit irgendetwas eins ergeben, damit es ein Körper wäre. Und dieses Inverse muss wiederum in der Restklasse liegen. Aber hängt das mit dem c zusammen? Bisher sehe ich da gar keinen Zusammenhang...
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> > Und wir kann ich mir die Isomorphie zwischen
> > [mm]\IR[/mm] und diesem [mm]K_c[/mm] anschaulich vorstellen?
>
> Am besten gar nicht.
> Sie sind isomorph, wenn es einen Isomorphismus gibt.
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> LG Angela
> >
> > Wär nett, wenn mir jemand helfen könnte =)
> > Liebe Grüße,
> > E. Balotelli
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> > In dieser Aufgabe soll nun [mm]\IR[X][/mm] modulo [mm]X^2+c[/mm] betrachtet
> > werden.
> >
> > Deine Mitschrift sollte Dir sagen:
> >
> > [mm]f\equiv[/mm] g <==> [mm](X^2+c)[/mm] teilt f-g.
> >
> >
> > [mm]\IR\left[ X \right]/(X^2+c)[/mm] enthält die Äquivalenzklassen
> > modulo [mm]X^2+c.[/mm]
> >
> > In [f] sind alle Polynome, für die die Differenz mit f
> > teilbar ist duch [mm]X^2+c.[/mm]
>
> Also teilbar ohne Rest, dann??
Hallo,
ja, natürlich: ohne Rest.
Es ist [mm] g\in [/mm] [f]
<==>
es gibt ein Polynom [mm] p\in \IR[X] [/mm] mit [mm] (f-g)=p(X^2+c)
[/mm]
> Dann befindet sich praktisch
> für f-g das g in der Restklasse von Modulo
Ich verstehe den Inhalt des Satzes nicht.
> >
> >
> > Du könntest ja mal ein paar Polynome aufschreiben, die
> > etwa in
> >
> > [mm][X^3+2X^2+1][/mm] enthalten sind, um ein Gefühl für die Sache
> > zu bekommen.
> >
> Also zum Beispiel [mm]X^3[/mm] ist ein darin enthaltenes Polynom.
> Ich hab jetzt mal c=1 gewählt.
Achso.
> Wenn ich jetzt das mache
> was du sagst, und [mm]X^3+2X^2+1-X^3[/mm] nehme, so bekomme ich ja
> [mm]2X^2+2,[/mm]
Echt?
Ich bekomme [mm] X^3+2X^2+1-X^3=2X^2+1,
[/mm]
was nicht ohne Rest durch [mm] X^2+1 [/mm] zu teilen ist.
> was durch [mm]X^2+1[/mm] ohne Rest teilbar ist. Aber wenn
> ich für [mm]g:=2X^2[/mm] nehme und das von f abziehe, ist die
> Differenz nicht durch [mm]X^2+1[/mm] teilbar. Also liegt in dem Fall
> [mm]2X^2[/mm] nicht in der Restklasse, hab ich das so richtig
> verstanden?!
Ich glaube, Du hast es verstanden.
> > Du mußt halt irgendwie überlegen, für welche c jedes
> > Element außer dem Nullelement ein inverses hat.
> Eigentlich besteht [mm]\IR\left[ X \right]/(X^2+c)[/mm] doch aus
> den Restklassen,
Ja, die Elemente sind Restklassen modulo [mm] (X^2+c)
[/mm]
> das heißt hier zum Beispiel dem [mm]X^3.[/mm]
Nein.
[mm] X^3 [/mm] ist ein Polynom und eine Restklasse.
[mm] [X^3] [/mm] ist eine Restklasse, nämlich
[mm] [X^3]:={f\in \IR[X]| (X^2+c) \quad teilt \quad X^3-f\}
[/mm]
> Dieses muss multipliziert mit irgendetwas eins ergeben,
> damit es ein Körper wäre.
Ich frage mich gerade, ob Dir vielleicht ein Satz zur Verfügung steht, welcher Dir sagt, wann
K[X]/(p) ein Körper ist.
Vielleicht schaust Du mal nach.
LG Angela
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Nur als Stichwort, das in diesem Zusammenhang nützlich sein könnte: Maximales Ideal
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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