Polynomungleichung lösen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:22 Do 28.05.2009 | | Autor: | ne43poc |
| Aufgabe | P(t) = [mm] \summe_{i=1}^{N} c_{i} t^{i} \le [/mm] 0
0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1
finde: [mm] g_{j} [/mm] ( [mm] c_{i} [/mm] ) [mm] \le [/mm] 0 genau so dass [mm] P(t)\le0 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
(Die Frage ist ein Teilproblem einer neuen (!!) Methode zur Trajektorienplanung dynamischer Systeme. Ich möchte die variable t eliminieren um die Ungleichung P(t) [mm] \le [/mm] 0 als Nebenbedingung in einer Variationsrechnung verwenden zu können. Dafür benötige ich die gleichwertige Bedingung ohne t, also etwa [mm] g_{j}(c_{i})\le0)
[/mm]
Kann ich Bedingungen mit nur den (konstanten und reellen) Parametern [mm] c_{i} [/mm] finden, unabhängig von t, so dass die Ungleichung P(t) [mm] \le [/mm] 0 erfüllt ist? t muss unbedngt raus!
Beispiel: Für N=1 wären das [mm] c_{0} \le [/mm] 0 und [mm] c_{0} [/mm] + [mm] c_{1} \le [/mm] 0. Dann wäre P(t) immer negativ bei 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1.
Bei N=1 oder 2 ist das sehr einfach, ich suche aber was für N=6 (und später mal für N=12). Bin für jede Idee dankbar!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Do 28.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> P(t) = [mm]\summe_{i=1}^{N} c_{i} t^{i} \le[/mm] 0
>
> 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 1
>
> finde: [mm]g_{j}[/mm] ( [mm]c_{i}[/mm] ) [mm]\le[/mm] 0
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> (Die Frage ist ein Teilproblem einer neuen (!!) Methode zur
> Trajektorienplanung dynamischer Systeme. Ich möchte die
> variable t eliminieren um die Ungleichung P(t) [mm]\le[/mm] 0 als
> Nebenbedingung in einer Variationsrechnung verwenden zu
> können.)
>
> Kann ich Bedingungen mit nur den (konstanten und reellen)
> Parametern [mm]c_{i}[/mm] finden, unabhängig von t, so dass die
> Ungleichung P(t) [mm]\le[/mm] 0 erfüllt ist? t muss unbedngt raus!
>
> Beispiel: Für N=1 wären das [mm]c_{0} \le[/mm] 0 und [mm]c_{0}[/mm] + [mm]c_{1} \le[/mm]
> 0.
Das verstehe ich nicht ganz. Für [mm] c_0 [/mm] = 0 und [mm] c_1 [/mm] = -1 ist P(t) = -t, also ist P(t) > 0 für jedes t<0
FRED
>
> Bei N=1 oder 2 ist das sehr einfach, ich suche aber was für
> N=6 (und später mal für N=12). Bin für jede Idee dankbar!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Do 28.05.2009 | | Autor: | ne43poc |
Es gilt 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1
Die Variable t ist immer positiv und kleiner als 1.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Do 28.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Sind alle [mm] c_i \le [/mm] 0, so gilt:
$P(t) = [mm] \summe_{i=1}^{N} c_{i} t^{i} \le [/mm] 0 $
für jedes t [mm] \in [/mm] [0,1]
FRED
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:47 Do 28.05.2009 | | Autor: | ne43poc |
Ja, danke!
Aber: ist [mm] c_{i} \le [/mm] 0 denn nicht eine zu starke Bedingung? Da gehen mir m.E. nach Lösungen verloren (was darin enden könnte dass mein Optimierungsproblem überbeschränkt ist).
Habe das ganze mal mit N=2 probiert, und da sieht man schon grafisch, dass entweder [mm] c_{1} [/mm] oder [mm] c_{2} [/mm] "ein bisschen" positiv sein darf.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 30.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Do 28.05.2009 | | Autor: | abakus |
> P(t) = [mm]\summe_{i=1}^{N} c_{i} t^{i} \le[/mm] 0
>
> 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 1
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> finde: [mm]g_{j}[/mm] ( [mm]c_{i}[/mm] ) [mm]\le[/mm] 0
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich kenne leider nicht die Bedeutung des [mm] g_j.
[/mm]
Wenn du nach Bedingungen für die Koeffizienten suchst, mit denen das Polynom zwischen 0 und 1 negativ ist, so reicht z.B. folgendes:
1) [mm] c_0, c_2, c_4, c_6, [/mm] ... sind negativ
und
2) [mm] |c_0|\ge|c_1|, |c_2|\ge|c_3|, |c_4|\ge|c_5| [/mm] ....
Gruß Abakus
>
> (Die Frage ist ein Teilproblem einer neuen (!!) Methode zur
> Trajektorienplanung dynamischer Systeme. Ich möchte die
> variable t eliminieren um die Ungleichung P(t) [mm]\le[/mm] 0 als
> Nebenbedingung in einer Variationsrechnung verwenden zu
> können.)
>
> Kann ich Bedingungen mit nur den (konstanten und reellen)
> Parametern [mm]c_{i}[/mm] finden, unabhängig von t, so dass die
> Ungleichung P(t) [mm]\le[/mm] 0 erfüllt ist? t muss unbedngt raus!
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> Beispiel: Für N=1 wären das [mm]c_{0} \le[/mm] 0 und [mm]c_{0}[/mm] + [mm]c_{1} \le[/mm]
> 0.
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> Bei N=1 oder 2 ist das sehr einfach, ich suche aber was für
> N=6 (und später mal für N=12). Bin für jede Idee dankbar!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Do 28.05.2009 | | Autor: | ne43poc |
Wow, danke! Das ist genau das das wonach ich suche. Mit [mm] g_{j}(c_{i}) \le [/mm] 0 wollte ich nur andeuten dass ich algebraische Ausdrücke suche, etwa so wie du sie hier angibst.
Das ganze erscheint mir auf den ersten Blick sehr plausibel! Gibt es zu der Aussage irgendwelche Literatur / Beweise? Wie heissen diese Bedingungen? Woher kennst du sie?
Nochmals danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:15 Do 28.05.2009 | | Autor: | ne43poc |
Hallo, habe mir das ganze nochmal überlegt. Leider ist es auch hier so dass man nicht alle Lösungen für [mm] c_{i} [/mm] ergreift.
Ein kleines Beispiel:
[mm] c_{0}=-1 [/mm] , [mm] c_{1}=0, c_{2}=1 [/mm] es folgt P(t) = [mm] -1+t^{2}
[/mm]
und man sieht P(t) [mm] \le [/mm] 0 für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1, also alles o.k., obwohl die [mm] c_{i} [/mm] den o.g. Bedingungen widersprechen.
Die Idee finde ich trotzdem gut. Gibt es zu dem Vorgehen irgendwelche Literatur?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Do 28.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo, habe mir das ganze nochmal überlegt. Leider ist es
> auch hier so dass man nicht alle Lösungen für [mm]c_{i}[/mm]
> ergreift.
Hallo,
das habe ich auch nicht behauptet.
Die Einschränkung ist nur wesentlich schwächer als bei [mm] c_i<0 [/mm] für alle i.
>
> Ein kleines Beispiel:
> [mm]c_{0}=-1[/mm] , [mm]c_{1}=0, c_{2}=1[/mm] es folgt P(t) = [mm]-1+t^{2}[/mm]
> und man sieht P(t) [mm]\le[/mm] 0 für 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 1, also alles
> o.k., obwohl die [mm]c_{i}[/mm] den o.g. Bedingungen widersprechen.
>
> Die Idee finde ich trotzdem gut. Gibt es zu dem Vorgehen
> irgendwelche Literatur?
Möglich. Ich habe aber ganz einfach gesehen, dass im Intervall von 0 bis 1 gilt [mm] x>x^2>x^3>x^4...
[/mm]
Damit fallen lassen sich eventuelle positive Koeffizienten dadurch ausgleichen, dass "bei der Potenz vorher" ein positiver negativer Koeffizient mit mindestens dem gleichen Betrag steht.
Also selbst wenn im Polynom steht: [mm] ...+100000x^4..... [/mm] kann das Polynom trotzdem einen negativen Wert haben, wenn es vorher auch mal den Summanden [mm] ...-1000000x^3 [/mm] (oder auch [mm] -1000000x^2...) [/mm] gegeben hat.
Es muss einfach zu jedem positiven [mm] c_i [/mm] irgendwann vorher (nicht zwingend direkt davor) einen mindestens betragsgleichen negativen Koeffizienten gegeben haben.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Do 28.05.2009 | | Autor: | abakus |
Hallo,
ich habe noch mal nachgedacht. Ein noch schwächeres Kriterium ist folgendes:
Die Summenfolge
[mm] c_0,
[/mm]
[mm] c_0+c_1,
[/mm]
[mm] c_0+c_1+c_2,
[/mm]
[mm] c_0+c_1+c_2+c_3,
[/mm]
...
[mm] c_0+ [/mm] ................... + [mm] c_n
[/mm]
besitzt kein einziges positives Glied.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Do 28.05.2009 | | Autor: | ne43poc |
Das klingt sehr sehr gut. Das passt soweit zu meinen Versuchen - VIELEN DANK FÜR DIE MÜHE, das ist echt ein super-Ergebnis!
Ich muss leider los und werde morgen weiter darüber brüten. Der Beweis muss noch gemacht werden 
DANKE!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Do 28.05.2009 | | Autor: | ne43poc |
Zitat: "Es muss einfach zu jedem positiven $ [mm] c_i [/mm] $ irgendwann vorher (nicht zwingend direkt davor) einen mindestens betragsgleichen negativen Koeffizienten gegeben haben. "
Danke für die aufschlussreiche Antwort. So langsam kriege ich einen Überblick und komme dahinter.
Dass [mm] x^{i+1} \le x^{i} [/mm] in dem Bereich ist, ist mir auch aufgefallen, ich konnte das ganze allerdings nicht in eine brauchbare Bedingung fassen (Bin immer beim suchen nach Nullstellen gelandet... war also unbrauchbar für große N). Deine Antwort hilft mir also schon einen Schritt weiter.
Kann man den Gedankengang weiterführen und schwächere Bedingungen formulieren? Evtl. dahingehend dass man ALLE [mm] c_{i} [/mm] erfasst? Dazu müsste man nicht nur die Potenz "davor" betrachten, sondern alle davor. (Ich lande da immer beim lösen der Ableitung, also [mm] \bruch{d}{dt}P(t)=0, [/mm] bringt aber nix bei großen N). Irgendeine Idee? Wäre echt toll!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 So 28.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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