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Polynomungleichung lösen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:22 Do 28.05.2009
Autor: ne43poc

Aufgabe
P(t) = [mm] \summe_{i=1}^{N} c_{i} t^{i} \le [/mm] 0

0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1

finde: [mm] g_{j} [/mm] ( [mm] c_{i} [/mm] )  [mm] \le [/mm] 0 genau so dass [mm] P(t)\le0 [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

(Die Frage ist ein Teilproblem einer neuen (!!) Methode zur Trajektorienplanung dynamischer Systeme. Ich möchte die variable t eliminieren um die Ungleichung P(t) [mm] \le [/mm] 0 als Nebenbedingung in einer Variationsrechnung verwenden zu können. Dafür benötige ich die gleichwertige Bedingung ohne t, also etwa [mm] g_{j}(c_{i})\le0) [/mm]

Kann ich Bedingungen mit nur den (konstanten und reellen) Parametern [mm] c_{i} [/mm] finden, unabhängig von t, so dass die Ungleichung P(t) [mm] \le [/mm] 0 erfüllt ist? t muss unbedngt raus!

Beispiel: Für N=1 wären das [mm] c_{0} \le [/mm] 0 und [mm] c_{0} [/mm] + [mm] c_{1} \le [/mm] 0. Dann wäre P(t) immer negativ bei 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1.

Bei N=1 oder 2 ist das sehr einfach, ich suche aber was für N=6 (und später mal für N=12). Bin für jede Idee dankbar!!!

        
Bezug
Polynomungleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Do 28.05.2009
Autor: fred97


> P(t) = [mm]\summe_{i=1}^{N} c_{i} t^{i} \le[/mm] 0
>  
> 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 1
>  
> finde: [mm]g_{j}[/mm] ( [mm]c_{i}[/mm] )  [mm]\le[/mm] 0
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> (Die Frage ist ein Teilproblem einer neuen (!!) Methode zur
> Trajektorienplanung dynamischer Systeme. Ich möchte die
> variable t eliminieren um die Ungleichung P(t) [mm]\le[/mm] 0 als
> Nebenbedingung in einer Variationsrechnung verwenden zu
> können.)
>  
> Kann ich Bedingungen mit nur den (konstanten und reellen)
> Parametern [mm]c_{i}[/mm] finden, unabhängig von t, so dass die
> Ungleichung P(t) [mm]\le[/mm] 0 erfüllt ist? t muss unbedngt raus!
>  
> Beispiel: Für N=1 wären das [mm]c_{0} \le[/mm] 0 und [mm]c_{0}[/mm] + [mm]c_{1} \le[/mm]
> 0.

Das verstehe ich nicht ganz. Für [mm] c_0 [/mm] = 0 und [mm] c_1 [/mm] = -1 ist P(t) = -t, also ist P(t) > 0 für jedes t<0

FRED




>  
> Bei N=1 oder 2 ist das sehr einfach, ich suche aber was für
> N=6 (und später mal für N=12). Bin für jede Idee dankbar!!!


Bezug
                
Bezug
Polynomungleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:37 Do 28.05.2009
Autor: ne43poc

Es gilt  0  [mm] \le [/mm]  t  [mm] \le [/mm]  1
Die Variable t ist immer positiv und kleiner als 1.

Bezug
                        
Bezug
Polynomungleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:42 Do 28.05.2009
Autor: fred97

Sind alle [mm] c_i \le [/mm] 0, so gilt:

           $P(t) =  [mm] \summe_{i=1}^{N} c_{i} t^{i} \le [/mm]  0 $

für jedes t [mm] \in [/mm] [0,1]

FRED

Bezug
                                
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Polynomungleichung lösen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:47 Do 28.05.2009
Autor: ne43poc

Ja, danke!

Aber:  ist [mm] c_{i} \le [/mm] 0 denn nicht eine zu starke Bedingung? Da gehen mir m.E. nach Lösungen verloren (was darin enden könnte dass mein Optimierungsproblem überbeschränkt ist).

Habe das ganze mal mit N=2 probiert, und da sieht man schon grafisch, dass entweder [mm] c_{1} [/mm] oder [mm] c_{2} [/mm] "ein bisschen" positiv sein darf.

Bezug
                                        
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Polynomungleichung lösen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Sa 30.05.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Polynomungleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Do 28.05.2009
Autor: abakus


> P(t) = [mm]\summe_{i=1}^{N} c_{i} t^{i} \le[/mm] 0
>  
> 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 1
>  
> finde: [mm]g_{j}[/mm] ( [mm]c_{i}[/mm] )  [mm]\le[/mm] 0
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Hallo,
ich kenne leider nicht die Bedeutung des [mm] g_j. [/mm]

Wenn du nach Bedingungen für die Koeffizienten suchst, mit denen das Polynom zwischen 0 und 1 negativ ist, so reicht z.B. folgendes:
1) [mm] c_0, c_2, c_4, c_6, [/mm] ... sind negativ
und
2) [mm] |c_0|\ge|c_1|, |c_2|\ge|c_3|, |c_4|\ge|c_5| [/mm] ....
Gruß Abakus

>  
> (Die Frage ist ein Teilproblem einer neuen (!!) Methode zur
> Trajektorienplanung dynamischer Systeme. Ich möchte die
> variable t eliminieren um die Ungleichung P(t) [mm]\le[/mm] 0 als
> Nebenbedingung in einer Variationsrechnung verwenden zu
> können.)
>  
> Kann ich Bedingungen mit nur den (konstanten und reellen)
> Parametern [mm]c_{i}[/mm] finden, unabhängig von t, so dass die
> Ungleichung P(t) [mm]\le[/mm] 0 erfüllt ist? t muss unbedngt raus!
>  
> Beispiel: Für N=1 wären das [mm]c_{0} \le[/mm] 0 und [mm]c_{0}[/mm] + [mm]c_{1} \le[/mm]
> 0.
>  
> Bei N=1 oder 2 ist das sehr einfach, ich suche aber was für
> N=6 (und später mal für N=12). Bin für jede Idee dankbar!!!


Bezug
                
Bezug
Polynomungleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:59 Do 28.05.2009
Autor: ne43poc

Wow, danke! Das ist genau das das wonach ich suche. Mit [mm] g_{j}(c_{i}) \le [/mm] 0 wollte ich nur andeuten dass ich algebraische Ausdrücke suche, etwa so wie du sie hier angibst.

Das ganze erscheint mir auf den ersten Blick sehr plausibel! Gibt es zu der Aussage irgendwelche Literatur / Beweise? Wie heissen diese Bedingungen? Woher kennst du sie?

Nochmals danke!

Bezug
                        
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Polynomungleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:15 Do 28.05.2009
Autor: ne43poc

Hallo, habe mir das ganze nochmal überlegt. Leider ist es auch hier so dass man nicht alle Lösungen für [mm] c_{i} [/mm] ergreift.

Ein kleines Beispiel:
[mm] c_{0}=-1 [/mm] , [mm] c_{1}=0, c_{2}=1 [/mm]  es folgt P(t) = [mm] -1+t^{2} [/mm]
und man sieht P(t) [mm] \le [/mm] 0 für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1, also alles o.k., obwohl die [mm] c_{i} [/mm] den o.g. Bedingungen widersprechen.

Die Idee finde ich trotzdem gut. Gibt es zu dem Vorgehen irgendwelche Literatur?

Bezug
                                
Bezug
Polynomungleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:36 Do 28.05.2009
Autor: abakus


> Hallo, habe mir das ganze nochmal überlegt. Leider ist es
> auch hier so dass man nicht alle Lösungen für [mm]c_{i}[/mm]
> ergreift.

Hallo,
das habe ich auch nicht behauptet.
Die Einschränkung ist nur wesentlich schwächer als bei [mm] c_i<0 [/mm] für alle i.


>  
> Ein kleines Beispiel:
>  [mm]c_{0}=-1[/mm] , [mm]c_{1}=0, c_{2}=1[/mm]  es folgt P(t) = [mm]-1+t^{2}[/mm]
>  und man sieht P(t) [mm]\le[/mm] 0 für 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 1, also alles
> o.k., obwohl die [mm]c_{i}[/mm] den o.g. Bedingungen widersprechen.
>  
> Die Idee finde ich trotzdem gut. Gibt es zu dem Vorgehen
> irgendwelche Literatur?

Möglich. Ich habe aber ganz einfach gesehen, dass im Intervall von 0 bis 1 gilt [mm] x>x^2>x^3>x^4... [/mm]
Damit fallen lassen sich eventuelle positive Koeffizienten dadurch ausgleichen, dass "bei der Potenz vorher" ein positiver negativer Koeffizient mit mindestens dem gleichen Betrag steht.
Also selbst wenn im Polynom steht: [mm] ...+100000x^4..... [/mm] kann das Polynom trotzdem einen negativen Wert haben, wenn es vorher auch mal den Summanden [mm] ...-1000000x^3 [/mm] (oder auch [mm] -1000000x^2...) [/mm] gegeben hat.
Es muss einfach zu jedem positiven [mm] c_i [/mm] irgendwann vorher (nicht zwingend direkt davor) einen mindestens betragsgleichen negativen Koeffizienten gegeben haben.
Gruß Abakus


Bezug
                                        
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Polynomungleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:47 Do 28.05.2009
Autor: abakus

Hallo,
ich habe noch mal nachgedacht. Ein noch schwächeres Kriterium ist folgendes:
Die Summenfolge
[mm] c_0, [/mm]
[mm] c_0+c_1, [/mm]
[mm] c_0+c_1+c_2, [/mm]
[mm] c_0+c_1+c_2+c_3, [/mm]
...
[mm] c_0+ [/mm] ................... + [mm] c_n [/mm]
besitzt kein einziges positives Glied.
Gruß Abakus


Bezug
                                                
Bezug
Polynomungleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:09 Do 28.05.2009
Autor: ne43poc

Das klingt sehr sehr gut. Das passt soweit zu meinen Versuchen - VIELEN DANK FÜR DIE MÜHE, das ist echt ein super-Ergebnis!

Ich muss leider los und werde morgen weiter darüber brüten. Der Beweis muss noch gemacht werden :-)

DANKE!

Bezug
                                                        
Bezug
Polynomungleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:01 Fr 29.05.2009
Autor: ne43poc

Hab mir das ganze nochmal angeschaut. Ein kleines Beispiel:

[mm] c_{0}=-1 [/mm] , [mm] c_{1}=1.1 [/mm] , [mm] c_{2}=-1 [/mm]

Auch hier gilt [mm] P(t)\le0 [/mm] für [mm] 0\le [/mm] t [mm] \le1, [/mm] obwohl die oben angegebenen Bedingungen nicht erfüllt sind. Die Bedingungen sind also immer noch zu stark.

Da sie aber hinreichend sind und genügend Freiraum bei der Wahl der [mm] c_{i} [/mm] bieten, kann ich damit schon was anfangen. Und sie sind einfach :-) das freut den Ingenieur :-)

Danke.

Bezug
                                        
Bezug
Polynomungleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:57 Do 28.05.2009
Autor: ne43poc

Zitat: "Es muss einfach zu jedem positiven $ [mm] c_i [/mm] $ irgendwann vorher (nicht zwingend direkt davor) einen mindestens betragsgleichen negativen Koeffizienten gegeben haben. "

Danke für die aufschlussreiche Antwort. So langsam kriege ich einen Überblick und komme dahinter.

Dass [mm] x^{i+1} \le x^{i} [/mm] in dem Bereich ist, ist mir auch aufgefallen, ich konnte das ganze allerdings nicht in eine brauchbare Bedingung fassen (Bin immer beim suchen nach Nullstellen gelandet... war also unbrauchbar für große N). Deine Antwort hilft mir also schon einen Schritt weiter.

Kann man den Gedankengang weiterführen und schwächere Bedingungen formulieren? Evtl. dahingehend dass man ALLE [mm] c_{i} [/mm] erfasst? Dazu müsste man nicht nur die Potenz "davor" betrachten, sondern alle davor. (Ich lande da immer beim lösen der Ableitung, also [mm] \bruch{d}{dt}P(t)=0, [/mm] bringt aber nix bei großen N). Irgendeine Idee? Wäre echt toll!

Bezug
        
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Polynomungleichung lösen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:22 So 28.06.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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