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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 So 11.02.2007 | | Autor: | JuliaWi |
| Aufgabe | Es sei [mm] \IK =\IQ[y]/(y^4+1) [/mm] ein Körper
Man soll das Polynom [mm] f(x)=(x^4+1)\in \IK [/mm] in irreduzieble Faktoren?
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ich habe leider gar keine Idee, wie ich anfangen soll.
Wie sehen die Elemente aus [mm] \IK[x] [/mm] aus, wenn
[mm] \IK [/mm] = [mm] \IQ [/mm] [y] / [mm] (y^4+1) [/mm] = [mm] \{ q(x) + (y^4+1) | q(x) \in \IQ (x) \}.
[/mm]
Wie muss ich überhaupt anfangen?
LG Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Mo 12.02.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Julia!
> Es sei [mm]\IK =\IQ[y]/(y^4+1)[/mm] ein Körper.
Hier ist 'sei' falsch, das ist ein Körper!
> Man soll das Polynom [mm]f(x)=(x^{4}+1)\in \IK[/mm] in irreduzible
> Faktoren zerlegen.
>
> ich habe leider gar keine Idee, wie ich anfangen soll.
> Wie sehen die Elemente aus [mm]\IK[x][/mm] aus, wenn
> [mm]\IK[/mm] = [mm]\IQ[/mm] [y] / [mm](y^4+1)[/mm] = [mm]\{ q(x) + (y^4+1) | q(x) \in \IQ (x) \}.[/mm]
Die Elemente aus K sind die Polynome in [mm] \overline{y} [/mm] vom Grad [mm] \le [/mm] 3 mit Koeffizienten in [mm] \IQ. [/mm] Die Rechenregel für die Multiplikation ist dann [mm] \overline{y}^{4} [/mm] = -1. Ein Polynom aus K[x] hat diese Dinger als Koeffizienten. In K gibt es eine 4te Wurzel aus -1, sogar mehrere, nämlich genau 4: [mm] \overline{y}, \overline{y}^{3}, \overline{y}^{5} [/mm] und [mm] \overline{y}^{7}. [/mm] Und damit zerfällt [mm] x^{4} [/mm] + 1 in 4 Linearfaktoren:
[mm] x^{4} [/mm] + 1 = (x - [mm] \overline{y})*(x [/mm] - [mm] \overline{y}^{3})*(x [/mm] - [mm] \overline{y}^{5})*(x [/mm] - [mm] \overline{y}^{7})
[/mm]
Linearfaktoren sind irreduzibel, also bist du fertig.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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