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| Aufgabe | Parameter einer Populationsmatrix ermitteln, so dass sich langfristig eine stationäre Verteilung ergibt.
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 0 & x \\
0,6 & 0 & 0 \\
0 & 0,6 & 0,8
\end{pmatrix} [/mm] |
Hallo!
Ein Weg, der auf die richtige Lösung führt, kann ich nicht nachvollziehen:
0,6*0,6*x+0,8=1
=> x=5/9
Für das Verständnis bräuchte ich Hilfe :)
LG,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 So 11.05.2014 | | Autor: | abakus |
> Parameter einer Populationsmatrix ermitteln, so dass sich
> langfristig eine stationäre Verteilung ergibt.
>
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 0 & x \\
0,6 & 0 & 0 \\
0 & 0,6 & 0,8
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Hallo!
>
> Ein Weg, der auf die richtige Lösung führt, kann ich
> nicht nachvollziehen:
>
> 0,6*0,6*x+0,8=1
>
> => x=5/9
>
> Für das Verständnis bräuchte ich Hilfe :)
>
> LG,
> Christian
>
Das Produkt 0,6*0,6 kannst du als EINE Zahl schreiben.
Dann folgt der Rechenbefehl: Subtrahiere auf beiden Seiten 0,8.
Es folgt noch eine beidseitige Division.
Kommst du klar?
Gruß Abakus
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Hallo,
danke für die Antwort, aber die Umformung ist mir klar :)
Das Verständnis, warum dieser Rechenweg eine korrekte Lösung liefert (sozusagen der Sinn dahinter) fehlt mir...
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 So 11.05.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> danke für die Antwort, aber die Umformung ist mir klar :)
>
> Das Verständnis, warum dieser Rechenweg eine korrekte
> Lösung liefert (sozusagen der Sinn dahinter) fehlt mir...
>
> LG
Wie wäre es denn dann mal mit einer konkreten Aufgabenstellung? Ich kann lediglich erahnen, dass aus irgendwelchen Dingen/Personen/Entwicklungszuständen/... innerhalb eines bestimmten Zeitraums andere Zustände werden.
Das geht nicht verlustfrei ab, denn die Spaltensummen sind nicht 1 (irgendwo stirbt also etwas oder verschwindet aus dem System).
Also: wie lautet die Aufgabe, die unter anderem diese Übergangsmatrix enthält, konkret?
Gruß Abakus
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Also es geht um eine Populationsentwicklung mit drei Entwicklungsstufen: Jungtiere, Mittelalte Tiere, Altiere
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 So 11.05.2014 | | Autor: | abakus |
> Also es geht um eine Populationsentwicklung mit drei
> Entwicklungsstufen: Jungtiere, Mittelalte Tiere, Altiere
>
Vorderste Spalte:
Kein Jungtier ist im nachsten Jahr noch ein Jungtier
--> 0
60% der Jungtiere sind nächstes Jahr mittelalt
--> 0,6 (der Rest wird Kalbfleisch)
Kein Junbgtier wird innerhalb nur eines Jahres zum Alttier
--> 0
Zweite Spalte:
Mittelalte Tiere werden nicht zu Jungtieren
--> 0
Nach einem Jahr sind sie nicht mehr mittelalt
--> 0
60% werden Alttiere (der Rest ist Steak oder Wurst geworden).
Dritte Spalte:
Einige Alttiere erzeugen Jungtiere (für deren Anzahl bzw. Anteil steht das x).
Aus Alttieren werden nicht wieder mittelalte Tiere
-->0
Einige Alttiere (80%) dürfen Alttiere bleiben und werden nicht sofort verwurstet.
Der Anteil der Alttiere (100% bzw. 1) setzt sich zusammen aus den 80% überlebenden Alttieren und den 60% (also das 0,6-fache) der mittelalten Tiere des Vorjahres, die wiederum das 0,6-fache der vor zwei Jahren geborenen Tiere sind (deren Anteil das x-fache der damals vorhandenen Altttiere ist).
Bei einen stationären Prozess ist die Geburtenrate jetzt genau so groß wie vor 2 Jahren, also ebenfalls x.
Gruß Abakus
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Hallo Abakus,
danke für die Antwort. Nun habe ich es mir rechnerisch selbst hergeleitet. Wenn man die Eigenwerte der Matrix berechnen will und annimmt, dass Lambda 1 ist (stationäre Verteilung), dann kommt man bei der Determinantenberechnung auf den Wert 5/9 bei dieser Matrix. Zusätzlich kann man noch mit dem Eigenvektor die entsprechenden Anteile der stationären Verteilung bestimmen.
Man, das war für mich ein harter Brocken :)
LG
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