Positiv Definit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Di 27.09.2005 | | Autor: | chr1s |
Stimmt meine Aussage:
Um zu zeigen, dass eine Matrix positiv definit ist, zeigt man, dass alle Diagonalelemente der Rechtsdreiecksmatrix bei der LR Zerlegung positiv sind.
Wer kann das bestätigen.
Was sicher ist: Wenn alle Eigenwerte positiv => Matrix positiv definit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Di 27.09.2005 | | Autor: | Britta82 |
Hi,
ich weiß nicht, ob es dir hilft, aber eine Matrix ist auch dann positiv definit wenn alle Determinanten der Matrizen "links oben" größer Null sind.
LG
Britta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Di 27.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Chris,
ich muss gleich vorweg sagen :
Ich weiß nicht mehr genau, ob folgendes nur für symmetrische Matrizen A gilt oder ganz allgemein.
(deshalb teilweise beantwortet)
Britta hat eigentlich schon die Lösung gesagt :
Wenn alle linken oberen Matrizen (einschließlich [mm] (a_{11}) [/mm] und ganz A) eine Determinante größer als Null haben, dann ist die Matrix positiv definit.
diese Determinanten heißen auch Hauptminoren.
Ich hoffe, du kennst diesen Zusammenhang.
(man achte auf das Symmetrie-Kriterium)
nun bei einer LR-Zerlegung ohne Pivotisierung verändert man ja nicht die Hauptminoren (also die Determinanten der oberen linken Matrizen) - dies sollte man sich einmal klar machen.
Und dass deine Aussage mit der oben dann äquivalent ist, sollte dann auch nicht mehr sooooo große Schwierigkeiten bereiten.
Wenn doch : frage ruhig nach, aber poste deine Versuche.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Di 27.09.2005 | | Autor: | chr1s |
Danke vielmals für eure Antworten.
Ich möchte ehrlich gesagt in dieser Richtung nicht genauer darauf eingehen, sondern eine weiter Behauptung in den Raum stellen.
Bedeutet det(A) > 0 => A positiv definit?
Weil dann ist es wohl die einfachste Methode, das ist natürlich stark mit eurer Behauptung verbunden.
Oder gibt es noch eine schnellere Methode um festzustellen, ob eine gegebene Matrix positiv definit ist. Kann eine singuläre Matrix, oder eine nicht symmetrische Matrix überhaupt positiv definit sein. Wenn meine Behauptung stimmt, dann gilt es nicht für reguläre Matrixen.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:00 Mi 28.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmals,
> Bedeutet det(A) > 0 => A positiv definit?
nein, vielmehr muss fuer alle k gelten :
det( [mm] A_k [/mm] )>0 , dann ist A positiv definit, wobei die [mm] A_k [/mm] alle oberen linken Untermatrizen sind (k=1..n)
(und man beachte Symmetrie)
> Weil dann ist es wohl die einfachste Methode, das ist
> natürlich stark mit eurer Behauptung verbunden.
ob du nun Gauss anwendest oder n groesser werdende Determinanten berechnest, musst du wissen.
Aber ich wuerde sagen bis 3x3 kann man ruhig die Determinanten berechnen.
> Kann eine
> singuläre Matrix, oder eine nicht symmetrische Matrix
> überhaupt positiv definit sein. Wenn meine Behauptung
> stimmt, dann gilt es nicht für reguläre Matrixen.
Also nicht regulaere bzw singulaere Matrizen haben ja die Determinante=0, also ist der groesste Hauptminor schonmal nicht groesser als 0
Deshalb koennen sie nicht positiv definit sein.
Um nochmal auf die Symmetrie einzugehen : Ich habe nicht wirklich Zeit um das genauestens nach zu schlagen, aber wenn ich mich recht entsinne, muss fuer den symmetrishcen Anteil einer rellen Matrix das Hauptminoren-Kriterium erfuellt sein (oder aequivalent das mit LR-Zerlegung+Diagonalelemente)
man schaue doch mal zum Beispiel hier:
![[]](/images/popup.gif) http://mathworld.wolfram.com/PositiveDefiniteMatrix.html
fuer komplexe Matrizen sollte man da auch nochmal genau schauen.
viele Gruesse
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, um die Frage schnell zu beantworten:
Die Behauptung ist falsch. Gegenbeispiel:
[mm] $\pmat{1 & 1} \pmat{1 & -3\\ 0 & 1} \pmat{1 \\ 1} [/mm] =-1<0$,
aber [mm] $\pmat{1 & -3 \\ 0 & 1}$ [/mm] ist eine obere Dreiecksmatrix mit positiven Einträgen...
Der Witz ist halt, dass aus [mm] $e_i^TAe_i>0$ [/mm] für [mm] $i=1,2,\ldots,n$ [/mm] noch lange nicht folgt, dass $A$ positiv definit ist!
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 Mi 28.09.2005 | | Autor: | chr1s |
Danke vielmals für eure Antworten und eure Mühe.
Die Prüfung ist vorbei und es kam nichts über dieses Thema.
Danke nochmals.
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