Positiv Definit Matrix Symmetr < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Do 30.07.2009 | | Autor: | Nickles |
| Aufgabe | Sei [mm] \Gamma = {\Gamma}^t \in \mathrm R^{nn} [/mm] eine symmetrische,positiv definite Matrix. Berechnen sie
[mm] {\int ... \int}_{\mathrm R^n} \mathrm e^{-\bruch{1}{2} {\vec x}^t \Gamma \vec x } \mathrm dx_1 ...\mathrm dx_n [/mm]
Hinweis: Es gibt eine orthogonale Matrix [mm] B \in \mathrm R^{nn} [/mm] , sodass [mm] B^t \Gamma B =: \Lambda [/mm] diagonal ist. |
Hi,
also ich hab mich mal informiert und weiß, was eine symmetrische Matrix ist.
Ich weiß auch was eine positiv definite Matrix ist, irgendwo habe ich gelesen , das dann wohl alle Eigenwerte > 0 sind.
Ein sonstiger Lösungsansatz fehlt mir allerdings.
Könntet ihr mir helfen, bzw. kennt jemand ein Skript das die Herangehensweise für "ganz blöde" erklärt ?
Grüße
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite in keinem anderem Forum gestellt
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Hallo Nickles.
> Sei [mm]\Gamma = {\Gamma}^t \in \mathrm R^{nn}[/mm] eine
> symmetrische,positiv definite Matrix. Berechnen sie
> [mm]{\int ... \int}_{\mathrm R^n} \mathrm e^{-\bruch{1}{2} {\vec x}^t \Gamma \vec x } \mathrm dx_1 ...\mathrm dx_n[/mm]
>
> Hinweis: Es gibt eine orthogonale Matrix [mm]B \in \mathrm R^{nn}[/mm]
> , sodass [mm]B^t \Gamma B =: \Lambda[/mm] diagonal ist.
> Hi,
>
> also ich hab mich mal informiert und weiß, was eine
> symmetrische Matrix ist.
> Ich weiß auch was eine positiv definite Matrix ist,
> irgendwo habe ich gelesen , das dann wohl alle Eigenwerte >
> 0 sind.
Ok, das stimmt.
> Ein sonstiger Lösungsansatz fehlt mir allerdings.
> Könntet ihr mir helfen, bzw. kennt jemand ein Skript das
> die Herangehensweise für "ganz blöde" erklärt ?
Nun, aus der Aufgabe geht auch hervor,
daß es dann eine Transformation
[mm]\overrightarrow{x}=B*\overrightarrow{u}[/mm]
gibt.
Diese Transformation muß zunächst durchgeführt werden.
Dann wird der Exponent der e-Funktion einfacher,
d.h. der Exponent schreibt sich dann als Summe von Quadraten.
>
> Grüße
>
>
> Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite in
> keinem anderem Forum gestellt
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Sa 01.08.2009 | | Autor: | Nickles |
Nunja jetzt habe ich eben aus [mm] \int ... \int_{\mathrm R^n} \mathrm e^{- \bruch{1}{2} {\vec x}^t \Gamma \vec x} \mathrm dx_1 ... \mathrm dx_n \rightarrow \int ... \int_{\mathrm R^n} \mathrm e^{- \bruch{1}{2} (B* \vec u )^t \Gamma * B* \vec u } \mathrm dx_1 ... \mathrm dx_n [/mm] gemacht.
Was muss ich nun tun?
Leider sehe ich hier nicht mal die Summe von der du geschrieben hast :)
Danke schonmal
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Hallo Nickles,
> Nunja jetzt habe ich eben aus [mm]\int ... \int_{\mathrm R^n} \mathrm e^{- \bruch{1}{2} {\vec x}^t \Gamma \vec x} \mathrm dx_1 ... \mathrm dx_n \rightarrow \int ... \int_{\mathrm R^n} \mathrm e^{- \bruch{1}{2} (B* \vec u )^t \Gamma * B* \vec u } \mathrm dx_1 ... \mathrm dx_n[/mm]
> gemacht.
>
> Was muss ich nun tun?
Schreibe
[mm]\left(B* \vec u )^t[/mm]
entsprechend um, so daß Du auf die in
der Aufgabenstellung genannte Form kommst.
Ausserdem ist das Element
[mm]dx_{1} \ ... \ dx_{n}[/mm]
entsprechend zu transformieren.
>
> Leider sehe ich hier nicht mal die Summe von der du
> geschrieben hast :)
>
> Danke schonmal
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:55 So 02.08.2009 | | Autor: | Nickles |
Also [mm] \int ... \int_{\mathrm R^n} \mathrm e^{- \bruch{1}{2} (B\cdot{} \vec u )^t \Gamma \cdot{} B\cdot{} \vec u } \mathrm dx_1 ... \mathrm dx [/mm] zu [mm] \rightarrow \int ... \int_{\mathrm R^n} \mathrm e^{- \bruch{1}{2} \vec u ^t * B^t \Gamma \cdot{} B\cdot{} \vec u } \mathrm du_1 ... \mathrm du
[/mm] ?
Ok dann ist der eine Teil des Exponents nun die orthogonale Matrix?
Das Heißt ich muss wohl mit dem [mm] \Lambda [/mm] weiterhantieren. Da das [mm] B^t \Gamma B =: \Lambda [/mm] diagonal ist oder?
Schönen Abend noch!
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Hallo Nickles,
> Also [mm]\int ... \int_{\mathrm R^n} \mathrm e^{- \bruch{1}{2} (B\cdot{} \vec u )^t \Gamma \cdot{} B\cdot{} \vec u } \mathrm dx_1 ... \mathrm dx[/mm]
> zu [mm]\rightarrow \int ... \int_{\mathrm R^n} \mathrm e^{- \bruch{1}{2} \vec u ^t * B^t \Gamma \cdot{} B\cdot{} \vec u } \mathrm du_1 ... \mathrm du
[/mm]
> ?
> Ok dann ist der eine Teil des Exponents nun die
> orthogonale Matrix?
> Das Heißt ich muss wohl mit dem [mm]\Lambda[/mm] weiterhantieren.
> Da das [mm]B^t \Gamma B =: \Lambda[/mm] diagonal ist oder?
Ja, so isses.
Über den Faktor, der da noch hinzukommt,
mußt Du Dir noch Gedanken machen.
>
> Schönen Abend noch!
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 So 02.08.2009 | | Autor: | Nickles |
Faktor? Du meinst das u, welches vor und hinter dem [mm] B^t \Gamma B [/mm] steht?
Mein Tipp wäre hier ein [mm] \vec y [/mm] wobei ich mal wieder die lange Leitung habe und nicht verstehe was es mir bringt :)
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:18 Mo 03.08.2009 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Faktor? Du meinst das u, welches vor und hinter dem [mm]B^t \Gamma B[/mm]
> steht?
Nein, das meint er nicht.
Du hast doch [mm] $B^t \Gamma [/mm] B = [mm] \Lambda [/mm] = [mm] \pmat{ \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n }$ [/mm] mit [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_n [/mm] > 0$ (da positiv definit). Wenn [mm] $\vec{u} [/mm] = [mm] \pmat{ u_1 \\ \vdots \\ u_n }$ [/mm] ist, was ergibt dann [mm] $\vec{u}^t \Lambda \vec{u} [/mm] = [mm] \vec{u}^t B^t \Gamma [/mm] B [mm] \vec{u}$? [/mm] Rechne das doch mal explizit aus.
Die Faktoren, die er meint, sind uebrigens die [mm] $\lambda_i$.
[/mm]
Aber wie weiter? Du kannst dann noch [mm] $\exp(a [/mm] + b) = [mm] \exp(a) \exp(b)$ [/mm] benutzen, um den Integranden [mm] $\exp(-\frac{1}{2} \vec{u}^t B^t \Gamma [/mm] B [mm] \vec{u})$ [/mm] in der Form [mm] $f_1(u_1) \cdot f_2(u_2) \cdots f_n(u_n)$ [/mm] zu schreiben, wobei [mm] $f_i [/mm] : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] recht einfache Funktionen sind. Schliesslich kannst du dann das $n$-fache Integral umschreiben in das Produkt von $n$ einfachen Integralen. Jedes dieser einfachen Integrale fuehrst du dann auf etwas Bekanntes zurueck (Substitution!) und rechnest sie damit aus.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Nickles |
Kommt dabei dann [mm] u_1^{1+t} * \lambda_1 + u_2^{1+t} * \lambda_2 + u_3^{1+t} * \lambda_3 + . . . + u_n^{1+t} * \lambda_n [/mm] heraus?
Was ich dann zerlegen kann zu [mm] \int e^{- \bruch{1}{2} * \lambda_1 * u_n^{1+t} } \mathrm du_1 ... \int e^{- \bruch{1}{2} * \lambda_n * u_n^{1+t} } \mathrm du_n [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Mo 03.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Kommt dabei dann [mm]u_1^{1+t} * \lambda_1 + u_2^{1+t} * \lambda_2 + u_3^{1+t} * \lambda_3 + . . . + u_n^{1+t} * \lambda_n[/mm]
> heraus?
Was soll $t$ sein?!
> Was ich dann zerlegen kann zu [mm]\int e^{- \bruch{1}{2} * \lambda_1 * u_n^{1+t} } \mathrm du_1 ... \int e^{- \bruch{1}{2} * \lambda_n * u_n^{1+t} } \mathrm du_n[/mm]
> ?
So in etwa. Aber ohne $t$ und mit was anderem dafuer.
Bedenke nun: da [mm] $u_i [/mm] > 0$ existiert [mm] $\sqrt{u_i}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{u_i} [/mm] > 0$. Und du hast sicher schonmal das Integral [mm] $\int_{-\infty}^\infty e^{-\tfrac{1}{2} x^2} [/mm] dx$ gesehen, oder?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Nickles |
na das t kommt doch von [mm] \vec{u}^t \Lambda \vec{u} = \vec{u}^t B^t \Gamma B \vec{u} [/mm] oder?
Das Integral [mm] \int_{-\infty}^\infty e^{-\tfrac{1}{2} x^2} dx [/mm] Ist das eine abgewandelte Form der Gauß normalverteilung? mit [mm] \int_{- \infty}^{\infty} e^{-x^2} = \sqrt{ \pi} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Mo 03.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> na das t kommt doch von [mm]\vec{u}^t \Lambda \vec{u} = \vec{u}^t B^t \Gamma B \vec{u}[/mm]
> oder?
Das $t$ steht fuer's Transponieren von Matrizen/Vektoren, und nicht fuer Exponentation!
> Das Integral [mm]\int_{-\infty}^\infty e^{-\tfrac{1}{2} x^2} dx[/mm]
> Ist das eine abgewandelte Form der Gauß normalverteilung?
> mit [mm]\int_{- \infty}^{\infty} e^{-x^2} = \sqrt{ \pi}[/mm] ?
Es gilt [mm] $\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2} x^2} [/mm] dx = [mm] \sqrt{2 \pi}$; [/mm] das ist die Standardnormalverteilung.
Wenn du jetzt [mm] $\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2} \lambda x^2} [/mm] dx$ hast mit [mm] $\lambda [/mm] > 0$, setze doch mal $y := [mm] \sqrt{\lambda} [/mm] x$; dann ist [mm] $e^{-\frac{1}{2} \lambda x^2} [/mm] = [mm] e^{-\frac{1}{2} y^2}$. [/mm] Jetzt wende die Substitutionsregel an.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Di 04.08.2009 | | Autor: | Nickles |
da [mm] y= \sqrt \lambda x \rightarrow x= \bruch {y}{\sqrt \lambda} [/mm] also [mm] \sqrt {2 \pi } \rightarrow \bruch{\sqrt {2 \pi }}{\sqrt \lambda} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Di 04.08.2009 | | Autor: | elmer |
Hallo!
Habs auch so ähnlich. Bin etwas unsicher, hoffe es merkt jemand falls es nicht stimmt.
[mm] \integral_{a}^{b}{e^{(-1/2)\lambda x^2} dx}=\integral_{a}^{b}{e^{-1/2y^2} \bruch{dy}{\wurzel{\lambda}} }= \bruch{\wurzel{2\pi}}{\wurzel{\lambda}}
[/mm]
Gruß
elmer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Di 04.08.2009 | | Autor: | felixf |
Moin zusammen
> Habs auch so ähnlich. Bin etwas unsicher, hoffe es merkt
> jemand falls es nicht stimmt.
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{e^{(-1/2)\lambda x^2} dx}=\integral_{a}^{b}{e^{-1/2y^2} \bruch{dy}{\wurzel{\lambda}} }= \bruch{\wurzel{2\pi}}{\wurzel{\lambda}}[/mm]
Sieht gut aus!
Nachtrag: wenn man das jetzt mit der Aufgabe kombiniert und die Beziehung [mm] $\prod_{i=1}^n \lambda_i [/mm] = [mm] \det \Gamma$ [/mm] benutzt, bekommt man eine schoen einfache Formel fuer das urspruengliche Integral.
LG Felix
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