Positiv orientierte ON-Basis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Fr 15.01.2016 | | Autor: | algieba |
Hallo
Ich habe an einer konvexen Kurve an einem Punkt $s$ eine Tangente $T$ und eine Normale $N$ (zeigt nach innen).
Nun gibt es noch zwei weitere Vektoren $v$ und $w$ in diesem Punkt. v zeigt beliebig nach außen. Daher existiert der Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] zwischen $T$ und $-v$ und [mm] $\varphi \in [0,\pi]$
[/mm]
Es gilt $v = [mm] -\sin (\varphi) [/mm] N - [mm] \cos (\varphi) [/mm] T$ (müsst ihr nicht nachrechnen, das stimmt)
Ich habe durch Rechnungen $w = [mm] -\cos (\varphi) [/mm] N + [mm] \sin (\varphi) [/mm] T$ erhalten.
Jetzt muss ich nur noch zeigen dass die beiden Vektoren eine positiv orientierte Orthonormal-Basis bilden.
Ich stehe auf dem Schlauch und bekomme es nicht hin.
Ich muss ja zeigen dass die Vektoren rechtwinklig aufeinander stehen, also:
[mm] $v\cdot [/mm] w = 0$
Das die Determinante von $(v,w)=0$ ist
und dass sie normiert sind.
Viele Grüße und vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Fr 15.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> Ich habe an einer konvexen Kurve an einem Punkt [mm]s[/mm] eine
> Tangente [mm]T[/mm] und eine Normale [mm]N[/mm] (zeigt nach innen).
> Nun gibt es noch zwei weitere Vektoren [mm]v[/mm] und [mm]w[/mm] in diesem
> Punkt. v zeigt beliebig nach außen. Daher existiert der
> Winkel [mm]\varphi[/mm] zwischen [mm]T[/mm] und [mm]-v[/mm] und [mm]\varphi \in [0,\pi][/mm]
>
> Es gilt [mm]v = -\sin (\varphi) N - \cos (\varphi) T[/mm] (müsst
> ihr nicht nachrechnen, das stimmt)
> Ich habe durch Rechnungen [mm]w = -\cos (\varphi) N + \sin (\varphi) T[/mm]
> erhalten.
>
> Jetzt muss ich nur noch zeigen dass die beiden Vektoren
> eine positiv orientierte Orthonormal-Basis bilden.
> Ich stehe auf dem Schlauch und bekomme es nicht hin.
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> Ich muss ja zeigen dass die Vektoren rechtwinklig
> aufeinander stehen, also:
> [mm]v\cdot w = 0[/mm]
>
> Das die Determinante von [mm](v,w)=0[/mm] ist
Du meinst sicher [mm](v,w)>0[/mm]
>
> und dass sie normiert sind.
>
> Viele Grüße und vielen Dank
Ich nehme an, dass N und T normiert sind. Ist das so ?
Wenn ja, so haben wir $N*N=1=T*T$ und $N*T=T*N=0$
Ich setze [mm] $s=sin(\varphi)$ [/mm] und [mm] $c:=cos(\varphi)$. [/mm] Dann
$v*w=scN*N-s^2N*T+c^2T*N-scT*T=0$
Weiter
[mm] $||v||=v*v=s^2N*N+scN*T+scT*N+c^2T*T=s^2+c^2=1$
[/mm]
Genauso sieht man [mm] ||w||^2=1$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Mo 18.01.2016 | | Autor: | algieba |
Hallo
Vielen Dank für die Antwort.
Ja die Tangente und Normale sind normiert.
Nun will ich noch zeigen dass $det(v,w) > 0$ ist.
Leider komme ich auf eine Determinante von -1:
[mm] $\vmat{ -\sin \varphi & -\cos \varphi \\ -\cos \varphi & \sin \varphi } [/mm] = [mm] -\sin^2 \varphi [/mm] - [mm] \cos^2 \varphi [/mm] = -1$
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 Mi 20.01.2016 | | Autor: | huddel |
Hallo algieba,
für die lin. unabhängigkeit reicht $det(v,w) [mm] \ne [/mm] 0$ (es gilt ja auch $det(v,w) = -det(w,v)$)
LG
Marlon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Sa 30.01.2016 | | Autor: | algieba |
Hallo
Danke für deine Antwort
Ich möchte doch aber nicht zeigen dass die Vektoren linear unabhängig sind, sondern dass sie eine positiv orientierte Orthonormalbasis bilden. Dazu muss ich doch zeigen das $det(v,w) > 0$ oder nicht?
Was ist an meiner Rechnung falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Mo 01.02.2016 | | Autor: | huddel |
Sorry, da habe ich mal wieder nicht richtig gelesen... Sorry...
Orientierung ist immer abhängig von einer Basis die du dir wählst. Wenn du die Äquivalenzklasse der Basen bzgl. der Standardbasis betrachtest, dann hast du recht und du musst einfach zeigen, dass $det(v,w)>0$ ist. Wenn du eine andere Basis betrachtest, dann wirst du erstmal eine basiswechselmatrix und dann deren Determinante berechnen müssen :)
LG
Huddel
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