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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Di 12.07.2011 | | Autor: | hilbert |
Ich habe zwei Fragen für meine Klausur nächste Woche in Lineare Algebra.
Wie zeige ich, dass A dann und nur dann positiv definit ist, wenn [mm] \bruch{A+A^T}{2} [/mm] positiv definit ist?
Und meine andere Frage ist ob ein ONS oder ein OGS immer linear unabhängig ist?
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Di 12.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Wie zeige ich, dass A dann und nur dann positiv definit ist, wenn $ [mm] \bruch{A+A^T}{2} [/mm] $ positiv definit ist?
Wie üblich, zuerst Hinrichtung, dann Begrä.., erm Rückrichtung.
A ist positiv definit, das heißt was genau?
Und was soll dann daraus für [mm] $\frac{A + A^t}{2}$ [/mm] folgen? Tut es das?
[mm] $\frac{A + A^t}{2}$ [/mm] ist positiv definit, das heißt was genau?
Und was soll dann daraus für A folgen? Tut es das?
Wir sind hier keine Lösungsfabrik. Wenn Du an einem konkreten Punkt hängst, dann schreib das.
> Und meine andere Frage ist ob ein ONS oder ein OGS immer linear unabhängig ist?
Sagen wir [mm] $\{a_i\}_{i\in I}$ [/mm] ist ein OGS. Welche Bedingung müßte es erfüllen, damit es linear unabhängig ist?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Di 12.07.2011 | | Autor: | hilbert |
Also zu dem OGS:
Ich habe mir das so gedacht, wäre es linear abhängig so könnte ich einen Vektor aus der Familie als Linearkombination der anderen darstellen.
Also nehme ich jetzt einfach an die Familie habe n Vektoren und ich kann den nten Vektor [mm] v_n\not=0 [/mm] darstellen.
Dann ist doch
[mm] v_n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n-1}x_i v_i
[/mm]
Damit gilt dann:
[mm] [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n-1}x_i =0 [/mm] da Orthogonal.
Aber [mm] [/mm] ist auch [mm] <\summe_{j=1}^{n-1}x_j v_j,\summe_{i=1}^{n-1}x_i v_i>
[/mm]
= [mm] \summe_{j=1}^{n-1}\summe_{i=1}^{n-1}x_i x_j
[/mm]
Jetzt gibt es 2 Möglichkeiten 0 ist enthalten in der Familie oder nicht.
Wenn nicht, dann wird aus [mm] [/mm] = [mm] \alpha*\delta_{ij}
[/mm]
Also erhalten ich: [mm] \summe_{j=1}^{n-1}x_j^2*\alpha [/mm] da hier [mm] \alpha [/mm] ungleich 0 hilt folgt also das alle [mm] x_i [/mm] Null sein müssten, also auch [mm] v_n.
[/mm]
Ist jetzt die 0 zugelassen als Elementz so sind die Vektoren nicht linear unabhängig.
Zur positiven Definitheit:
Es gilt A ist positiv definit, also ist [mm] x^{T}Ax \ge [/mm] 0 und [mm] x^{T}Ax [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] x=0
Also untersuche ich jetzt [mm] x^{T}\bruch{A+A^{T}}{2}X
[/mm]
das ist dann ja [mm] \bruch{x^{T}Ax+x^{T}A^{T}x}{2}
[/mm]
Kann ich jetzt sagen, dass [mm] A^{T} [/mm] positiv definit ist? Dann gilt das ganze offensichtlich.
Vielen Dank schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:05 Mi 13.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Aber $ [mm] [/mm] $ ist auch $ [mm] <\summe_{j=1}^{n-1}x_j v_j,\summe_{i=1}^{n-1}x_i v_i> [/mm] $
Es ist auch [mm] $\langle v_n, v_n\rangle$. [/mm] Und das ist >0 für [mm] $v_n\neq [/mm] 0$, weil das Skalarprodukt positiv ist.
> Kann ich jetzt sagen, dass $ [mm] A^{T} [/mm] $ positiv definit ist?
Jo, denn [mm] $x^t [/mm] A x = [mm] x^t A^t [/mm] x$ für alle A und x. (wieso?)
(damit brauchst Du natürlich die PD nicht mehr, weil sich Dein Bruch sofort zu $x^tAx$ vereinfacht. Aber es ist immer gut, das zu wissen =)
ciao
Stefan
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