Positivität von Lösungen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Mo 26.11.2012 | | Autor: | vivo |
Hallo,
man betrachte das AWP:
[mm]y'=f(x,y), ~~ y(x_0)=y_0 \in \IR_+ [/mm]
angenommen [mm]f(\cdot,\cdot)[/mm] ist stetig in [mm][0,\infty[ \times \IR_+[/mm] und lokal Lipschitz-Stetig in [mm][0,\infty[ \times \IR_+[/mm] bezüglich der zweiten Variable.
Es existiert ja dann auf jeden Fall mindestens eine lokale Lösung des AWP's welche eindeutig ist. Allerdings ist nicht klar ob eine Lösung auf ganz [mm][0,\infty[ [/mm] existiert.
Angenommen es gilt zusätzlich, dass [mm]f(\cdot,\cdot)[/mm] Lipschitz-Stetig in [mm][0,\infty[ \times \IR_+[/mm] bezüglich der zweiten Variable ist.
Reicht die Lipschitz-Stetigkeit dann aus, um zu sichern, dass eine Lösung nie negativ wird, wenn z.B. die Funktion [mm]f(\cdot,\cdot)[/mm] in der zweiten Variable für negative Werte nicht definiert ist (z.B. Wurzelfunktion) ???
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:22 Di 27.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> man betrachte das AWP:
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> [mm]y'=f(x,y), ~~ y(x_0)=y_0 \in \IR_+[/mm]
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> angenommen [mm]f(\cdot,\cdot)[/mm] ist stetig in [mm][0,\infty[ \times \IR_+[/mm]
> und lokal Lipschitz-Stetig in [mm][0,\infty[ \times \IR_+[/mm]
> bezüglich der zweiten Variable.
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> Es existiert ja dann auf jeden Fall mindestens eine lokale
> Lösung des AWP's welche eindeutig ist. Allerdings ist
> nicht klar ob eine Lösung auf ganz [mm][0,\infty[[/mm] existiert.
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> Angenommen es gilt zusätzlich, dass [mm]f(\cdot,\cdot)[/mm]
> Lipschitz-Stetig in [mm][0,\infty[ \times \IR_+[/mm] bezüglich der
> zweiten Variable ist.
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> Reicht die Lipschitz-Stetigkeit dann aus, um zu sichern,
> dass eine Lösung nie negativ wird, wenn z.B. die Funktion
> [mm]f(\cdot,\cdot)[/mm] in der zweiten Variable für negative Werte
> nicht definiert ist (z.B. Wurzelfunktion) ???
Natürlich. Für eine Lösung y muß dann [mm] \wurzel{y(x)} [/mm] vorhanden sein
FRED
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> Vielen Dank
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