Potential einer Punktladung < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Mo 11.05.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Das Potential zu einer Punktladung im dreidimensionalen Raum ist gegeben durch:
[mm] \Phi(x,y,z)=\bruch{1}{4*\pi*\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
[/mm]
Zeige, dass somit
[mm] \nabla^2\Phi(x,y,z)=\delta(x,y,z) [/mm] gilt. |
Bin so vorgegangen.. hoffe das ist von der Schreibweise ungefähr richtig so (das mit dem (...)' ist denke ich was geschlunzt aber egal)
Zunächst:
[mm] \bruch{\partial}{\partial x}=\bruch{1}{4*\pi)}*\left((x^2+y^2+z^2)^{-\bruch{1}{2}}\right)'=\bruch{1}{4*\pi}*\bruch{-2*x}{2*\sqrt(x^2+y^2+z^2)^3}=-\bruch{x}{4*\pi}*\bruch{1}{\sqrt(x^2+y^2+z^2)^3}
[/mm]
Dann
[mm] \bruch{\partial^2}{\partial x^2}=\left(-\bruch{x}{4*\pi}*\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\bruch{3}{2}}\right)'=\bruch{-1}{4*\pi}*\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\bruch{3}{2}}+\bruch{-x}{4*\pi}*\left(-\bruch{3}{2}\right)*\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\bruch{5}{2}}*2*x
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4*\pi}*\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\bruch{3}{2}}*\left(-1+3*x^2*\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-1}\right)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4*\pi}*\bruch{1}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}}*\left(-1+\bruch{3*x^2}{x^2+y^2+z^2}\right)
[/mm]
Also wenn die Ableitung stimmt, was ich hoffe, dann müssten die anderen 2 partiellen Ableitungen genauso aussehen, nur das in der Klammer im Zähler einmal [mm] y^2 [/mm] und einmal [mm] z^2 [/mm] steht...
für [mm] \nabla^2 [/mm] muss ich dann alle partiellen Ableitungen addieren, denn ich muss eine Poissongleichung erhalten richtig? [mm] \nabla^2 [/mm] g(x,y,z)=f(x,y,z)
Also lass ich den ausgeklammerten Ausdruck so stehen und addiere nur die Terme in der Klammer:
[mm] \nabla^2\Phi(x,y,z)=\bruch{1}{4*\pi}*\bruch{1}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}}*\left(-3+\bruch{3*x^2}{x^2+y^2+z^2}+\bruch{3*y^2}{x^2+y^2+z^2}+\bruch{3*z^2}{x^2+y^2+z^2}\right) [/mm]
Jetzt könnte ich in der Klammer noch mehr ausklammern aber ich wollte erstmal nachrfagen ob ich bis hierher alles richtig gemacht hab 
Danke und Gruß,
tedd
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:55 Di 12.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieht richtig aus, und die klammer ist ja 0 fuer x,y,z [mm] \ne [/mm] 0
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Do 14.05.2009 | | Autor: | tedd |
Stimmt, danke fürs drüberschauen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
tedd
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