Potential eines Dipols < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | An den Punkten [mm] +\underline{q} [/mm] und [mm] -\underline{q} [/mm] sei je eine elrktrische Ladung angebracht. Bestimmen Sie das elektrische Potential für große Entfernungen r >>a von diesen Punkten mit Hilfe einer Taylor Entwicklung von [mm] \frac{1}{\vert\underline{r}-\underline{a}\vert} [/mm] in Potenzen von [mm] \frac{a}{r} [/mm] (bis zur 1. Ordnung) für entgegengesetzt gleiche Ladungen [mm] \pm [/mm] q
Hinweis: Schreiben Sie [mm] \vert\underline{r}-\underline{a}\vert [/mm] als Funktion des Winkels [mm] zwischen\underline{r} [/mm] und [mm] \underline{a} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich weiß die Aufgabe zur Bestimmung des Dipolpotentials ist eine alte Sache, aber ich habe zu der Aufgabenstellung noch Fragen:
Wenn ich mir das skizziere, lege ich irgendwohin meinen 0 Punkt und dann in mein Koordinatensystem zwei Punkte -q und +q. Diese haben dann die Ortsvektoren [mm] \underline{q}_1 [/mm] und [mm] \underline{q}_2. [/mm] Der Betrag des Verbindungsvektors der beiden Punkte ist der Abstand a.
In dem Hinweis ist von einem Vektor [mm] \underline{r} [/mm] die Rede...Welcher genau ist damit gemeint? Das soll doch gemäß Aufgabenstellung die Entfernung zu den [mm] Punkten\pm [/mm] q sein, heißt das es ist ein Vektor, der vom Urpsprung zur Mitte von [mm] \underline{a}zeigt?
[/mm]
Wenn das so wäre hätte ich aber nicht DEN einen Winkel zwischen /underline{r} und /underline{a}, sondern zwei?
Wäre dankbar für einen kurzen Tipp!
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 So 15.05.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Theoretix,
dieser Vektor r muss natürlich irgendwo ansetzen und hierfür nimmt man als Ausgangspunkt die Mitte der Verbindung zwischen den beiden Ladungen. Der Aufpunkt ist der Punkt, an dem Du das Potential bestimmen möchtest. Für die Herleitung würde ich Dir folgendes empfehlen: Berechne durch Superposition das Potential der beiden Ladungen [mm] q_1 [/mm] und [mm] q_2 [/mm](kann man schnell hinschreiben) mit Hilfe der beiden Entfernungen [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm]. Male Dir das am besten mal auf, so dass der Aufpunkt auf der x-Achse liegt und der Mittelpunkt zwischen den Ladungen im Ursprung des Koordinatensystems. Den Dipol mit seiner Gesamtlänge a kannst Du beliebig einmalen, Hauptsache sein Mittelpunkt liegt im Ursprung. Dann kannst Du einen Winkel Alpha einführen zwischen der x-Achse und der Verbindung zwischen den beiden Ladungen (im mathematisch positiven Sinn) und dann lassen sich die Entfernungen [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] abschätzen zu
[mm] r_1 \approx r - \bruch{a}{2} \cos \alpha [/mm] und
[mm] r_2 \approx r + \bruch{a}{2} \cos \alpha [/mm]
In Deiner Potentialberechnung wird eine Größe
[mm] \bruch{1}{r_1} - \bruch{1}{r_2} = \bruch{r_2 - r_1}{r_1 r_2}[/mm] auftauchen und hierfür setzt Du dann obige Näherung ein.
Viel Spaß beim Rechnen,
Infinit
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Hallo,
danke für die Antwort!
Ist es denn auch möglich das ganze folgendermaßen zu skizzieren:
[Dateianhang nicht öffentlich]
? Dabei liegt einfach -q im Nullpunkt und das ganze Problem sieht geometrisch etwas anders aus, jedoch beschreibt mit [mm] \varphi(r) [/mm] ja das Potential an einem Ort r, es ist mir ja nicht explizit vorgegeben, dass der r Vektor direkt von der Mittw zwischen -q und q starten muss? (Habe jedenfalls auch einige „Herleitungen“ gefunden, die es auf diese Weise hier angesetzt haben)
Das wäre jetzt meine erste Frage..
Und dann mache ich weiter, indem ich das Potential der beiden Ladungen aufstelle, und erhalte:
[mm] \varphi(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{-q}{r}+\frac{q}{\vert r-a\vert})
[/mm]
Dann würde ich (weil es als Hinweis gefordert wird) den zweiten Summanden Taylor entwickeln (bis zur zweiten Ordnung)und erhalte nach langem Rechnen:
[mm] \frac{1}{\vert r-a\vert}=\frac{1}{r}+\frac{ra}{r^3}+\frac{1}{2}\frac{3(ra)^2-r^2a^2}{r^5}+...
[/mm]
und da ich ja r>>a betrachte, fallen alle Terme größer als die 2. Ordnung weg, und es bleibt:
[mm] \varphi(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\underline{r}\underline{a}}{r^3},
[/mm]
wobei hier [mm] \underline{r} [/mm] und [mm] \underline{a} [/mm] im Zähler Vekoren sind...Da es sich hierbei um ein Skalarprodukt handelt, kann ich daraus schreiben:
[mm] \varphi(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{ab\cos(\alpha)}{r^3}, [/mm] wobei [mm] \alpha [/mm] der Winkel zwischen den Vekoren [mm] \underline{r} [/mm] und [mm] \underline{a} [/mm] ist.
Ist das soweit auch korrekt?
Wenn ja, bin ich „fertig“ mit der Herleitung des Dipolpotentials, oder muss ich hier noch irgendwie weiter machen?
Wäre dankbar für eine schnelle Hilfe!
Liebe Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Theoretix,
dieser Ansatz ist auch möglich und hat einen direkteren Bezug zur Aufgabenstellung als mein Vorschlag. Ich glaube allerdings, dass Du Dich in der letzten Gleichung vertippt hast. Bis zur vorletzten Potentialgleichung kann ich Dir noch folgen, es taucht das sogenannte Dipolmoment qa auf und das Ganze geht für große r mit [mm] \bruch{1}{r^2} [/mm] gegen Null. In der letzten Gleichung soll das b im Zähler wohl ein r sein. Ja, damit wärst Du mit dieser Aufgabe fertig.
Als kleiner Quercheck meine Herleitung:
[mm] \varphi = \bruch{q}{4 \pi \epsilon_0} (\bruch{1}{r_1} - \bruch{1}{r_2}) [/mm]
Mit der Umformung, die ich genannt hatte, bekommen wir
[mm] \bruch{r_2-r_1}{r_1 r_2} \approx \bruch{a \cos \alpha}{r^2 - \bruch{a^2}{4} cos^2 \alpha} \approx \bruch{ a \cos \alpha}{r^2} [/mm] und damit auch
[mm] \varphi \approx \bruch{qa}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \bruch{\cos \alpha}{r^2} [/mm]
Da kommen wir wohl auf das gleiche Ergebnis.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Theoretix |
Super, danke dir für die Hilfe!
Gruß
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