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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Potential per Koeffizientenvgl
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Potential per Koeffizientenvgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Do 27.05.2010
Autor: kappen

Aufgabe
Geben Sie das Potential von [mm] \overrightarrow{F}=\vektor{3xz-y\\-x\\1,5x^2} [/mm] an.

hi leute :)

habe gezeigt, dass F konservativ ist und habe das Wegintegral "normal", also via [mm] \integral_{0}^{1}{\overrightarrow{F}(t\overrightarrow{r}(t))*\overrightarrow{r}(t)}dt [/mm] mit [mm] \overrightarrow{r}=\vektor{x\\y\\z} [/mm] berechnet (hierbei direkt die Frage, wieso ich den parametrisierten Weg überhaupt ableiten muss - wir haben gezeigt, dass das geht, aber ich weiß nicht warum :( )
Jedenfalls kommt dabei V(r)=1,5x^2z-xy heraus.

Da diese Art relativ langwierig ist und ich weiß, dass das Feld eh wegunabhängig ist, kann ich da nicht einfach die Stammfunktion bilden? Zeilenweise sieht das so aus:

[mm] x)1,5zx^2-yx+c [/mm]
y)-xy+c
z)1,5x^2z+c

Wie bestimme ich jetzt daraus das Potential? Es wurde gesagt per Koeffizientenvergleich, aber was soll ich vergleichen?

Danke & schöne Grüße

        
Bezug
Potential per Koeffizientenvgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 Do 27.05.2010
Autor: MathePower

Hallo kappen,

> Geben Sie das Potential von
> [mm]\overrightarrow{F}=\vektor{3xz-y\\-x\\1,5x^2}[/mm] an.
>  hi leute :)
>  
> habe gezeigt, dass F konservativ ist und habe das
> Wegintegral "normal", also via
> [mm]\integral_{0}^{1}{\overrightarrow{F}(t\overrightarrow{r}(t))*\overrightarrow{r}(t)}dt[/mm]
> mit [mm]\overrightarrow{r}=\vektor{x\\y\\z}[/mm] berechnet (hierbei
> direkt die Frage, wieso ich den parametrisierten Weg
> überhaupt ableiten muss - wir haben gezeigt, dass das
> geht, aber ich weiß nicht warum :( )
>  Jedenfalls kommt dabei V(r)=1,5x^2z-xy heraus.
>  
> Da diese Art relativ langwierig ist und ich weiß, dass das
> Feld eh wegunabhängig ist, kann ich da nicht einfach die
> Stammfunktion bilden? Zeilenweise sieht das so aus:
>  
> [mm]x)1,5zx^2-yx+c[/mm]
>  y)-xy+c
>  z)1,5x^2z+c


Besser Du schreibst das so:

[mm]F_{1}(x,y,z)=1,5*z*x^{2}-y*x+c_{1}\left(y,z\right)[/mm]

[mm]F_{2}(x,y,z)=-x*y+c_{2}\left(x,z\right)[/mm]

[mm]F_{3}(x,y,z)=1,5*x^{2}*z+c_{3}\left(x,y\right)[/mm]

Die Konstanten sind jedoch  noch von
den jeweils beiden anderen Variablen abhängig.


>  
> Wie bestimme ich jetzt daraus das Potential? Es wurde
> gesagt per Koeffizientenvergleich, aber was soll ich
> vergleichen?


Vergleiche jetzt die erhaltenen Funktionen miteinander
und ermittle daraus die entsprechenden Konstanten.


>  
> Danke & schöne Grüße


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Potential per Koeffizientenvgl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:51 Do 27.05.2010
Autor: kappen


> Hallo kappen,
>  

huhu

> > [mm]x)1,5zx^2-yx+c[/mm]
>  >  y)-xy+c
>  >  z)1,5x^2z+c
>  
>
> Besser Du schreibst das so:
>  
> [mm]F_{1}(x,y,z)=1,5*z*x^{2}-y*x+c_{1}\left(y,z\right)[/mm]
>  
> [mm]F_{2}(x,y,z)=-x*y+c_{2}\left(x,z\right)[/mm]
>  
> [mm]F_{3}(x,y,z)=1,5*x^{2}*z+c_{3}\left(x,y\right)[/mm]
>  
> Die Konstanten sind jedoch  noch von
>  den jeweils beiden anderen Variablen abhängig.
>  

Okay

>
> >  

> > Wie bestimme ich jetzt daraus das Potential? Es wurde
> > gesagt per Koeffizientenvergleich, aber was soll ich
> > vergleichen?
>  
>
> Vergleiche jetzt die erhaltenen Funktionen miteinander
>  und ermittle daraus die entsprechenden Konstanten.
>  

Weiß nicht genau, wie das gehen soll. Klar sehe ich, dass die Funktionen teilweise gleich sind, ebenfalls sollten die Konstanten jeweils kein x,y,z enthalten, aber wie genau mache ich das "handwerklich"?

>
> >  

> > Danke & schöne Grüße
>
>
> Gruss
>  MathePower


Bezug
                        
Bezug
Potential per Koeffizientenvgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:05 Do 27.05.2010
Autor: MathePower

Hallo kappen,

> > Hallo kappen,
>  >  
> huhu
>  > > [mm]x)1,5zx^2-yx+c[/mm]

>  >  >  y)-xy+c
>  >  >  z)1,5x^2z+c
>  >  
> >
> > Besser Du schreibst das so:
>  >  
> > [mm]F_{1}(x,y,z)=1,5*z*x^{2}-y*x+c_{1}\left(y,z\right)[/mm]
>  >  
> > [mm]F_{2}(x,y,z)=-x*y+c_{2}\left(x,z\right)[/mm]
>  >  
> > [mm]F_{3}(x,y,z)=1,5*x^{2}*z+c_{3}\left(x,y\right)[/mm]
>  >  
> > Die Konstanten sind jedoch  noch von
>  >  den jeweils beiden anderen Variablen abhängig.
>  >  
> Okay
>  >

> > >  

> > > Wie bestimme ich jetzt daraus das Potential? Es wurde
> > > gesagt per Koeffizientenvergleich, aber was soll ich
> > > vergleichen?
>  >  
> >
> > Vergleiche jetzt die erhaltenen Funktionen miteinander
>  >  und ermittle daraus die entsprechenden Konstanten.
>  >  
> Weiß nicht genau, wie das gehen soll. Klar sehe ich, dass
> die Funktionen teilweise gleich sind, ebenfalls sollten die
> Konstanten jeweils kein x,y,z enthalten, aber wie genau
> mache ich das "handwerklich"?
>  >


Beispiel: Vergleich von [mm]F_{1}[/mm] und  [mm]F_{2}[/mm]:


[mm]F_{1}(x,y,z)=1,5*z*x^{2}-y*x+c_{1}\left(y,z\right)=-x*y+c_{2}\left(x,z\right)=F_{2}(x,y,z)[/mm]

Hieraus folgt durch Vergleich beider Seiten:

[mm]c_{2}\left(x,z\right)=1,5*z*x^{2}[/mm]

[mm]c_{1}\left(y,z\right)=0[/mm]

Damit ergibt sich:

[mm]F_{1}\left(x,y,z\right)=1,5*z*x^{2}-y*x=F_{2}\left(x,y,z\right)[/mm]

Analog der Vergleich von [mm]F_{1}[/mm] mit [mm]F_{3}[/mm]
bzw. [mm]F_{2}[/mm] mit [mm]F_{3}[/mm].


> > >  

> > > Danke & schöne Grüße
> >
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Potential per Koeffizientenvgl: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:17 Do 27.05.2010
Autor: kappen

Ich denke ich verstehe das System, aber hat das wirklich etwas mit dem Koeffizientenvergleich wie z.B. bei einer Partialbruchzerlegung zu tun? Verstehe nicht, wieso das so funktioniert. Verstehe auch nicht, wieso damit überhaupt die "gesamte" Stammfunktion bestimmt werden kann. Gibts da irgendwie Literatur oder kannst du mir das näher bringen?

Danke...

Bezug
                                        
Bezug
Potential per Koeffizientenvgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Do 27.05.2010
Autor: MathePower

Hallo kappen,

> Ich denke ich verstehe das System, aber hat das wirklich
> etwas mit dem Koeffizientenvergleich wie z.B. bei einer
> Partialbruchzerlegung zu tun? Verstehe nicht, wieso das so


Mit Koeffizientenvergleich hat das nicht viel zu  tun.
Hier vergleichst Du eher Funktionen miteinander.


> funktioniert. Verstehe auch nicht, wieso damit überhaupt
> die "gesamte" Stammfunktion bestimmt werden kann. Gibts da
> irgendwie Literatur oder kannst du mir das näher bringen?
>  
> Danke...



Gruss
MathePower

Bezug
                                        
Bezug
Potential per Koeffizientenvgl: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Sa 29.05.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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