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Hi,
habe mal wieder eine Aufgabe für die Klausur vorzubereiten, mit der ich absolut nicht zurecht komme.
Gegeben sei das Vektorfeld [mm] f:R^3 [/mm] -> [mm] R^3 [/mm] mit
f(x,y,z) = (2xz, 2yz, [mm] x^2+y^2+e^{(-z)^2})^T [/mm]
(i) Zeigen sie, dass f ein Potential besitzt, es ist nicht nötig ein Potential zu
berechnen.
(ii) Es sei K die Kurve im [mm] R^3 [/mm] mit der Parameterdarstellung
x:[0,2PI] -> [mm] R^3 [/mm] , x = (sin(t), [mm] sin^2(t), cos^2(t))^T
[/mm]
Zeigen sie, dass K eine geschlossene Kurve ist, und berechnen sie das
Kurvenintegral
[mm] \integral_{K}{f(x) dx}
[/mm]
(iii) Es sei [mm] g:R^{3}->R^{3} [/mm] das Vektorfeld mit
g(x,y,z) = (1, z, [mm] -y)^T [/mm]
Berechnen sie das Kurvenintegral
[mm] \integral_{K}{g(x) dx}
[/mm]
Das ist die Aufgabe, ich weiss ersma garnichts mit der Parameterdarstellung anzufangen, und ausserdem war ich in dem
Zeitraum, wo wir das behandelt haben leider krank und werde
aus den Beispielaufgaben meines Buches nciht wirklich schlau.
Wenn einer noch lust hat, koennte er mir auch bei der nächsten
Aufgabe helfen. Ich weiss zwar, dass ich dir Grenzen von y und z nur
einsetzten und umformen muss etc... aber nicht bei dieser Aufgabe.
Ich komm zum verrecken nicht dahinter wie ich das hier machen muss,
mein Matheprogramm (Derive) kommt zwar beim Integrieren immer auf das ergebnis wie ich, aber das ist falsch. Die integrationsgrenzen sind also falsch, aber ich bekomms einfach nciht hin *kotz*
Hier die Aufgabe:
Berechnen sie das Volumen des Körpers:
K = {(x,y,z) [mm] \in R^3 [/mm] : x >= 0 , y >= 0 , z >= 0 , y+z <= 1 , x <= yz }
Ciao und thanx ;p
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/30256,0.html?sid=8891b1cc26107238c6ad2012120eb612
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Hallo trinkMilch!
> Gegeben sei das Vektorfeld [mm]f:R^3[/mm] -> [mm]R^3[/mm] mit
>
> f(x,y,z) = (2xz, 2yz, [mm]x^2+y^2+e^{(-z)^2})^T[/mm]
>
> (i) Zeigen sie, dass f ein Potential besitzt, es ist nicht
> nötig ein Potential zu
> berechnen.
Dazu kann ich leider nichts sagen. :-/
> (ii) Es sei K die Kurve im [mm]R^3[/mm] mit der Parameterdarstellung
> x:[0,2PI] -> [mm]R^3[/mm] , x = (sin(t), [mm]sin^2(t), cos^2(t))^T[/mm]
>
> Zeigen sie, dass K eine geschlossene Kurve ist, und
> berechnen sie das
> Kurvenintegral
>
> [mm]\integral_{K}{f(x) dx}[/mm]
Ich hoffe, ich vertue mich jetzt nicht, aber eigentlich müsste ich das auch für die Klausur können, deswegen probiere ich es mal. 
Also, es gilt allgemein für eine Kurve [mm] \gamma:
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma}{\omega} [/mm] := [mm] \integral{\omega(\gamma)*\gamma'}
[/mm]
In deinem Fall hast du dann folgendes:
[mm] \gamma'(t)=K'(t)= (\cos(t), \sin(2t), -\sin(2t))
[/mm]
also eingesetzt:
[mm] \integral_{K}{f(x)\;dx} [/mm] = [mm] \integral_0^{2\pi}{2\sin(t)\cos^2(t)*\cos(t)+2\sin^2(t)\cos^2(t)*\sin(2t)+[\sin^2(t)+(\sin^2(t))^2+e^{(-\cos^2(t))^2}]*(-\sin(2t))}
[/mm]
Das müsste du jetzt wohl mal ein bisschen berechnen und evtl. mit Additionstheoremen oder so vereinfachen.
Und das war's dann auch schon, ist sicher viel Rechnerei, dürfte aber sonst eigentlich nicht viel dahinterstecken. 
> (iii) Es sei [mm]g:R^{3}->R^{3}[/mm] das Vektorfeld mit
> g(x,y,z) = (1, z, [mm]-y)^T[/mm]
>
> Berechnen sie das Kurvenintegral
>
> [mm]\integral_{K}{g(x) dx}[/mm]
Das geht sicher genauso - willst du es mal versuchen? Ich habe auch einige Tage gebraucht, bis ich das verstanden hatte, aber durch ständiges Korrigieren hier im MR habe ich es dann geschafft. Probier es doch bitte mal, schreib einfach auf, was du meinst, was da hin kommt, und ich oder jemand anders verbessert es dann.
> Hier die Aufgabe:
>
> Berechnen sie das Volumen des Körpers:
>
> K = {(x,y,z) [mm] \in R^3: [/mm] x >= 0 , y >= 0 , z >= 0 , y+z <= 1 , x <= yz }
Ok, ich probier's auch mal, obwohl ich mit den Grenzen auch immer Schwierigkeiten habe. Aber ich glaube, man kann es ohne sich viel dabei zu denken, einfach mathematisch umformen:
aus [mm] y+z\le [/mm] 1 folgt doch [mm] y\le [/mm] 1-z
also müsste man doch dann für x schreiben können (folgt dann aus der zweiten Gleichung): [mm] x\le [/mm] (1-z)*z
Da alle Variablen [mm] \ge [/mm] 0 sind, kannst du als untere Grenze jeweils 0 einsetzen. Du erhältst dann insgesamt:
[mm] \integral_0^1{\integral_0^{(1-z)*z}{\integral_0^{1-z}dy}dx}dz
[/mm]
Das Rechnen schaffst du dann jetzt sicher alleine - kommt denn jetzt das richtige Ergebnis raus?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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Hi,
also ersteinmal danke fuer deine Antwort und die nützlichen Tips.
also zu
(i) Potentiale liegen in einfach zusammenhaengenden Gebieten, die die Singularität nicht umschliessen.
rot [mm] \vec{f} [/mm] = 0
ok, irgendwie wusste ich das vorher schon, war nur unsicher ob das wirklich reichte .p
aber jetzt!
(ii)
Also eigtl. müsste das Kurvenintegral den Wert 0 haben und man muss hier nicht rechnen (Da Kurve ein Potential besitzt, wie Fire richtig gesagt hat ;p)
aber trotzdem verstehe ich nicht was du gemacht hast bei schritt (ii).
Das brauch ich ja fuer (iii) :(
Wie kommst du z.B. auf die Zeile:
[mm] \gamma'(t) [/mm] = K'(t) = (cos(t), sin(2t), -sin(2t))
wäre nett, wenn du mir das bis nach dem einsetzten erklären könntest.
Ich kann es nämlich nciht deuten :(
Dann werde ich Teil (iii) selber versuchen und dir schreiben, was dabei rumgekommen ist ^^
zu (iv) (Volumen des Körpers)
Ja das mit den Grenzen stimmt nun, vielen Dank.
Also ich weiss nicht genau, ob das Ergebnis richtig ist, aber wenigstens
ist das ergebnis schonmal eine Zahl.
Mich haben die Grenzen bei dieser Aufgabe so verwirrt, ich hatte als
Ergebnis eine Variablen abhängige Grösse :(
Aber nun sollte ich es eigtl. können.
(ich habe nie fuer x eingesetzt nach der Umformung und war dann immer verwirrt, nach welchem y bzw. z ich denn jetz auflösen soll bei den beiden letzten Bedingungen ;p)
Ach ja, Fire21 hat bei der Integration nur die Reihenfolge der Integration vertauscht und fuer nicht fuer y = 1-z eingesetzt,
und er kommt bei der Integration auf 1/24.
Also die Hälfte deines Ergebnisses (1/12).
Ich kann mir nur leider nciht vorstellen warum :(
Also vielen Dank nochmal und bis bald.
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Hallo!
> aber jetzt!
> (ii)
> Also eigtl. müsste das Kurvenintegral den Wert 0 haben und
> man muss hier nicht rechnen (Da Kurve ein Potential
> besitzt, wie Fire richtig gesagt hat ;p)
>
> aber trotzdem verstehe ich nicht was du gemacht hast bei
> schritt (ii).
> Das brauch ich ja fuer (iii) :(
>
> Wie kommst du z.B. auf die Zeile:
> [mm]\gamma'(t)[/mm] = K'(t) = (cos(t), sin(2t), -sin(2t))
Naja, also das ist wirklich simpel: ich habe einfach jede Komponente von K einzeln nach t abgeleitet!
> wäre nett, wenn du mir das bis nach dem einsetzten erklären
> könntest.
> Ich kann es nämlich nciht deuten :(
Probiere doch bitte mal aus, was du einsetzten würdest, die allgemeine Formel habe ich dir ja gegeben! Und dann zitiere doch bitte nochmal das, was ich geschrieben habe, damit ich nicht alles neu schreiben muss! Und probier es wirklich öfter mal aus, wie gesagt, ich habe es auch so gemacht. Und immer wieder irgendwas hingeschrieben, hier reingestellt, festgestellt, dass es falsch war, festgestellt, was falsch war, mir helfen lassen, wieder ausprobiert usw. Und irgendwann hatte ich es dann!
> Dann werde ich Teil (iii) selber versuchen und dir
> schreiben, was dabei rumgekommen ist ^^
>
> zu (iv) (Volumen des Körpers)
> Ja das mit den Grenzen stimmt nun, vielen Dank.
> Also ich weiss nicht genau, ob das Ergebnis richtig ist,
> aber wenigstens
> ist das ergebnis schonmal eine Zahl.
> Mich haben die Grenzen bei dieser Aufgabe so verwirrt, ich
> hatte als
> Ergebnis eine Variablen abhängige Grösse :(
> Aber nun sollte ich es eigtl. können.
> (ich habe nie fuer x eingesetzt nach der Umformung und war
> dann immer verwirrt, nach welchem y bzw. z ich denn jetz
> auflösen soll bei den beiden letzten Bedingungen ;p)
>
> Ach ja, Fire21 hat bei der Integration nur die Reihenfolge
> der Integration vertauscht und fuer nicht fuer y = 1-z
> eingesetzt,
> und er kommt bei der Integration auf 1/24.
> Also die Hälfte deines Ergebnisses (1/12).
> Ich kann mir nur leider nciht vorstellen warum :(
Eigentlich würde ich meinen, da müsste das Gleiche rauskommen, oder einer von uns hat sich doch bei den Grenzen vertan. Die Integrationsreihenfolge ist bei solchen Aufgaben wohl immer egal (ich glaub, der Satz von Fubini sagt so etwas, aber da müsste man theoretisch eigentlich dann auch genau die Voraussetzungen überprüfen, aber wie gesagt, bei solchen Aufgaben ist das meistens egal.).
Und sonst hat er bei der Grenze wohl halt einfach das y stehen lassen, allerdings integriert er als erstes auch nicht über y, vielleicht liegt es daran. Aber entweder hast du dich verrechnet und es kommt doch bei ihm und bei mir dasselbe raus, oder er oder ich hat falsche Grenzen eingesetzt... Für wann brauchst du das denn? Vielleicht probiere ich es dann ja auch nochmal aus.
Viele Grüße
Bastiane
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> Naja, also das ist wirklich simpel: ich habe einfach jede
> Komponente von K einzeln nach t abgeleitet!
Wie kommst du dann auf K = [mm] (\sin(t), -\frac{1}{2}\cos(2t), \frac{1}{2}\cos(2t)) [/mm] ??
> Für wann brauchst du das denn? Vielleicht probiere ich es dann ja auch
> nochmal aus.
Das ist nett, aber musst du nicht unbedingt tun. Ich benötige das auch erst in 2 Wochen und werd mir das nochmal genau angucken, wenn ich dann immernoch fragen habe, frage ich einfach :D
Wie du hinterher eingesetzt hast, ist mir auch nun klar :D thx
also f(x,y,z) = (2xz, ... , ...)
und [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] (\sin(t), \sin^2(t), \cos^2(t))
[/mm]
jetz hast du dann beim [mm] \integral_{K}{f(x)dx}
[/mm]
einfach erst die x-Komponente von [mm] \vec{x}, [/mm] dann die z-Komponente eingesetzt, und dann mal der x-Komponente von [mm] \gamma'
[/mm]
so kommst du dann auf [mm] \integral{2\sin(t)\cos^2(t)\cos(t) ...}
[/mm]
richtig?? :D
cu...
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Hallo!
> > Naja, also das ist wirklich simpel: ich habe einfach jede
> > Komponente von K einzeln nach t abgeleitet!
>
> Wie kommst du dann auf K = [mm](\sin(t), -\frac{1}{2}\cos(2t), \frac{1}{2}\cos(2t))[/mm]
> ??
Wo hab ich denn das geschrieben? [haae]
> Wie du hinterher eingesetzt hast, ist mir auch nun klar :D
> thx
schön ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
> also f(x,y,z) = (2xz, ... , ...)
> und [mm]\vec{x}[/mm] = [mm](\sin(t), \sin^2(t), \cos^2(t))[/mm]
>
> jetz hast du dann beim [mm]\integral_{K}{f(x)dx}[/mm]
> einfach erst die x-Komponente von [mm]\vec{x},[/mm] dann die
> z-Komponente eingesetzt, und dann mal der x-Komponente von
> [mm]\gamma'[/mm]
>
> so kommst du dann auf [mm]\integral{2\sin(t)\cos^2(t)\cos(t) ...}[/mm]
>
> richtig?? :D
Naja, also vorher noch die 2, ne? Du berechnest ja in deinem Fall unter dem Integral: f(K)*K', da die erste Komponente von f 2xz heißt, setzt du da eben für x die entsprechende Komponente von K ein, also die erste, und für das z entsprechend die dritte, und die 2 bleibt natürlich stehen und dann noch mal die erste Komponente der Ableitung. Aber ich glaub', du meintest es auch so.
Kannst du den Rest dann auch nachvollziehen? Dann kannst du dich ja an die dritte Aufgabe machen!
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> Hallo!
> > > Naja, also das ist wirklich simpel: ich habe einfach
> jede
> > > Komponente von K einzeln nach t abgeleitet!
> >
> > Wie kommst du dann auf K = [mm](\sin(t), -\frac{1}{2}\cos(2t), \frac{1}{2}\cos(2t))[/mm]
> > ??
> Wo hab ich denn das geschrieben? [haae]
>
Ja das hast du nicht geschrieben, ich habe einfach dein K'
Komponentenweise nach t integriert .p
Ich weiss halt nicht, wie du auf das K' = [mm] (\cos(t), \sin(2t), -\sin(2t))
[/mm]
das kann ich irgendwie nicht nachvollziehen.
danke fuer deine geduld und mühe ;p
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Hallo!
> > Hallo!
> > > > Naja, also das ist wirklich simpel: ich habe
> einfach
> > jede
> > > > Komponente von K einzeln nach t abgeleitet!
> > >
> > > Wie kommst du dann auf K = [mm](\sin(t), -\frac{1}{2}\cos(2t), \frac{1}{2}\cos(2t))[/mm]
> > > ??
> > Wo hab ich denn das geschrieben? [haae]
>
> Ja das hast du nicht geschrieben, ich habe einfach dein K'
> Komponentenweise nach t integriert .p
Mmh, dann musst du dich wohl verrechnet haben.
> Ich weiss halt nicht, wie du auf das K' = [mm](\cos(t), \sin(2t), -\sin(2t))[/mm]
>
> das kann ich irgendwie nicht nachvollziehen.
Also, du hast doch deine Kurve K gegeben, und die Komponenten davon sind doch das [mm] x=(\sin(t),\sin^2(t),\cos^2(t)).
[/mm]
Und wenn man das ableitet, dann kommt mein K' raus, jedenfalls sagt das mein Computer.
> danke fuer deine geduld und mühe ;p
Kein Problem! Ich bin richtig froh, dass ich jetzt mal jemandem so helfen kann, wie mir sonst immer geholfen wird, und vor allem stolz, dass ich was hier selber gelernt habe, was ich jetzt schon anderen erklären kann.
Viele Grüße
Bastiane
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> Mmh, dann musst du dich wohl verrechnet haben.
>
> > Ich weiss halt nicht, wie du auf das K' = [mm](\cos(t), \sin(2t), -\sin(2t))[/mm]
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> >
> > das kann ich irgendwie nicht nachvollziehen.
>
> Also, du hast doch deine Kurve K gegeben, und die
> Komponenten davon sind doch das
> [mm]x=(\sin(t),\sin^2(t),\cos^2(t)).[/mm]
> Und wenn man das ableitet, dann kommt mein K' raus,
> jedenfalls sagt das mein Computer.
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
hmmm :D
also wenn ich z.B. die y-Komponente von K ableite:
[mm] \frac{d}{dt}\sin^2(t) [/mm] = [mm] 2\sin(t)\cos(t)
[/mm]
du kommst, genau wie dein programm, auf [mm] \sin(2t)
[/mm]
warum bzw. wie??
danke, cu
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Fire21 |
Hallo,
> zu (iv) (Volumen des Körpers)
> Ja das mit den Grenzen stimmt nun, vielen Dank.
> Also ich weiss nicht genau, ob das Ergebnis richtig ist,
> aber wenigstens
> ist das ergebnis schonmal eine Zahl.
> Mich haben die Grenzen bei dieser Aufgabe so verwirrt, ich
> hatte als
> Ergebnis eine Variablen abhängige Grösse :(
> Aber nun sollte ich es eigtl. können.
> (ich habe nie fuer x eingesetzt nach der Umformung und war
> dann immer verwirrt, nach welchem y bzw. z ich denn jetz
> auflösen soll bei den beiden letzten Bedingungen ;p)
>
> Ach ja, Fire21 hat bei der Integration nur die Reihenfolge
> der Integration vertauscht und fuer nicht fuer y = 1-z
> eingesetzt,
> und er kommt bei der Integration auf 1/24.
> Also die Hälfte deines Ergebnisses (1/12).
> Ich kann mir nur leider nciht vorstellen warum :(
>
Also, ich komme auf die hälfte des Ergebnis, weil ich wie du richtig bemerkt hast erst über x integriere und dann über y und als obergrenze der x-Integration yz steht, Stammfunktion davon bzgl y ergibt dann gerade [mm] \frac{1}{2} zy^{2}, [/mm] daher die [mm] \frac{1}{2}.
[/mm]
Möchtest du zuerst über y integrieren, dann darfst du nicht einfach die Integration vertauschen und die Grenzen beibehalten(das gilt nach dem Satz von Fubini nur für konstante Grenzen). Hier mußt du dann bei der Integration über y noch die Bedingung [mm] x\leq [/mm] yz, also [mm] y\geq \frac{x}{z} [/mm] beachten, und dies als Untegrenze wählen, so dass dann das Integral lauten würde:
[mm] \int_{0}^{1}\int_{0}^{(1-z)z}\int_{\frac{x}{z}}^{1-z} [/mm] dydx dz.
Und damit erhält man auch genau das gleiche Ergebnis, [mm] \frac{1}{24}.
[/mm]
(Allerdings teilt man hier durch z und man müßte noch kurz begründen warum das für [mm] z\rightarrow [/mm] 0 keine Probleme erzeugt, ist zwar auch kein Problem, aber mit der anderen Integrationsreihenfolge hat man sich das gespart)
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Sa 16.07.2005 | | Autor: | trinkMilch |
Jo vielen Dank fuer die Erklärung :D
Haetten wir das auch erledigt, THX
cu...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Fire21 |
> Gegeben sei das Vektorfeld [mm]f:R^3[/mm] -> [mm]R^3[/mm] mit
>
> f(x,y,z) = (2xz, 2yz, [mm]x^2+y^2+e^{(-z)^2})^T[/mm]
>
> (i) Zeigen sie, dass f ein Potential besitzt, es ist nicht
> nötig ein Potential zu
> berechnen.
In diesem Fall (f ist auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet definiert) sind die Integrabilitätsbedingungen notwendig und hinreichend für die Existenz eines Potential:
[mm] \partial_{x_{k}}f_{j} [/mm] - [mm] \partial_{x_{j}}f_{k}=0, 1\leq [/mm] j < [mm] k\leq [/mm] n
Oder in deinem Fall (n=3) kurz: rot f =0.
> (ii) Es sei K die Kurve im [mm]R^3[/mm] mit der Parameterdarstellung
> x:[0,2PI] -> [mm]R^3[/mm] , x = (sin(t), [mm]sin^2(t), cos^2(t))^T[/mm]
>
> Zeigen sie, dass K eine geschlossene Kurve ist, und
> berechnen sie das
> Kurvenintegral
>
> [mm]\integral_{K}{f(x) dx}[/mm]
Zu zeigen, dass K eine geschlossenene Kurve ist, dürfte ja kein Problem sein. Dann ist zwar die Methode, die Bastiane beschrieben hat, ein Kurvenintegral auszurechnen, zwar grundsätzlich richtig, in diesem Fall geht es aber sehr viel einfacher und schneller: Man denke an Teil (i), was gilt für das Linienintegral über eine geschlossene Kurve in einem Vektorfeld, das ein Potential besitzt.....?
> (iii) Es sei [mm]g:R^{3}->R^{3}[/mm] das Vektorfeld mit
> g(x,y,z) = (1, z, [mm]-y)^T[/mm]
>
> Berechnen sie das Kurvenintegral
>
> [mm]\integral_{K}{g(x) dx}[/mm]
>
Hier mußt du nun das Verfahren, das Bastiane beschrieben hat (also die Definition des Kurvenintegrals) anwenden, ist bei diesem Vektorfeld auch viel weniger Rechenarbeit......
> Hier die Aufgabe:
>
> Berechnen sie das Volumen des Körpers:
>
> K = [mm] \lbrace [/mm] (x,y,z) [mm]\in R^3[/mm] : x >= 0 , y >= 0 , z >= 0 , y+z <= 1
> , x <= yz [mm] \rbrace
[/mm]
>
Da würde ich folgende Integration vorschlagen:
[mm] \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-z}\int_{0}^{yz} [/mm] dxdydz
Was sollte denn herauskommen?
Gruß
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Stimmt ...
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
. . . . ![[]](/images/popup.gif){kind=small}
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