Potentialtopf < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Fr 19.08.2011 | | Autor: | mb588 |
Hallo.
Ich betrachte den Energieverlauf eines Teilchens innerhalb eines Potentialtopfs in Abhängigkeit der Länge.
Der Potentialtopf wurde wie folgt konstruiert:
[mm] V(z)=\begin{cases} V_0, & \mbox{für } z<-\frac{L}{2} \\ 0, & \mbox{für } |z|\le\frac{L}{2} \\ V_0, & \mbox{für} z>\frac{L}{2} \end{cases}
[/mm]
Vorausgesetzt wird die Schrödingergleichung:
[mm] \left[-\frac{\hbar^{2}}{2m_e}\frac{\partial^2}{\partial z^2}+V(z)\right]\psi(z)=E\psi(z)
[/mm]
[mm] m_{e} [/mm] ist dabei die effektive Masse der Elektronen im Topf.
Nun gilt noch:
[mm] k^{2}=\frac{2m_e}{\hbar^2}E [/mm] für den Topf und
[mm] \kappa^2=\frac{2M_{e}}{\hbar^{2}}(V_0-E) [/mm] für die Barrieren.
Wenn ich jetzt L=0 wähle, dann bedeutet das ja, dass
[mm] k^{2}=\frac{2M_e}{\hbar^2}E. [/mm] Soweit bin ich gekommen. Rauskommen soll, dass [mm] E=V_0 [/mm] ist für L=0. Ich hab es mit Matlab durchgerechnet und es stimmt, aber mir fehlt halt noch die mathematische Begründung.
Physikalisch würd ich sagen:
Ein Teilchen das sich in einen "Potentialtopf" der breite L=0 befindet besitzt keine kinetische Energie, da es sich in einem konstanten Potential [mm] V_0 [/mm] befindet. Daher muss die Energie des Teilchens gleich [mm] V_0 [/mm] sein.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Fr 19.08.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
da bei dir ja gar keine Lösug vorkommt, mit Stetigkeitsbed. am Rand, also du L gar nicht ansiehst, kannst du auch nix über L gegen 0 sagen
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:31 Fr 19.08.2011 | | Autor: | mb588 |
Doch da gibt es schon Lösungen, aber ich dacht es gibt eine einfachere Lösung, um das zu zeigen! Die Lösungen sind:
[mm] \psi_I(z)=A \begin{cases} cos(kz), & \mbox{symmetrisch}\\ sin(kz), & \mbox{antisymmetrisch} \end{cases}
[/mm]
für [mm] |z|\le\frac{L}{2}.
[/mm]
[mm] \psi_{II}(z)=Be^{-\kappa z}
[/mm]
für [mm] z>\frac{L}{2}.
[/mm]
[mm] \psi_{III}(z)=\pm Be^{\kappa z}
[/mm]
für [mm] z<-\frac{L}{2}.
[/mm]
[mm] \frac{\sqrt{\overline{\kappa}_{0}^{2}-\sigma\overline{k}^{2}}}{\overline{k}}=\begin{cases} tan\frac{\overline{k}}{2} \\ -cot\frac{\overline{k}}{2} \end{cases}
[/mm]
Wobei [mm] \overline{k}=k*L [/mm] und [mm] \overline{\kappa}_{0}=\kappa_{0}*L [/mm] und [mm] \overline{\kappa}=\kappa*L [/mm] sowie
[mm] \overline{\kappa}_{0}^{2}=\frac{2M_{e}}{\hbar^{2}}V_{0} [/mm] und [mm] \sigma=\frac{M_{e}}{m_{e}}
[/mm]
Die Lösungen [mm] \overline{k} [/mm] hab ich mit Matlab bestimmt. Für [mm] L\rightarrow [/mm] 0 würden auch die Lösungen [mm] \overline{k} [/mm] gegen Null gehen! Das hat ir aber nicht wirklich weiter geholfen. Prinzipiell interessiert mich ja nur der symmetrische Fall, da die Energiewerte abwechselnd symmetrisch und antisymmetrisch aufgetragen werden und da es mit nur um den Fall [mm] L\rightarrow [/mm] 0 geht ist dies der symmetrische Fall.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 21.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Fr 19.08.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo.
>
> Ich betrachte den Energieverlauf eines Teilchens innerhalb
> eines Potentialtopfs in Abhängigkeit der Länge.
> Der Potentialtopf wurde wie folgt konstruiert:
>
> [mm]V(z)=\begin{cases} V_0, & \mbox{für } z<-\frac{L}{2} \\ 0, & \mbox{für } |z|\le\frac{L}{2} \\ V_0, & \mbox{für} z>\frac{L}{2} \end{cases}[/mm]
>
> Vorausgesetzt wird die Schrödingergleichung:
>
> [mm]\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m_e}\frac{\partial^2}{\partial z^2}+V(z)\right]\psi(z)=E\psi(z)[/mm]
>
> [mm]m_{e}[/mm] ist dabei die effektive Masse der Elektronen im
> Topf.
>
> Nun gilt noch:
>
> [mm]k^{2}=\frac{2m_e}{\hbar^2}E[/mm] für den Topf und
>
> [mm]\kappa^2=\frac{2M_{e}}{\hbar^{2}}(V_0-E)[/mm] für die
> Barrieren.
Du meinst wahrscheinlich:
[mm] $\kappa^{2}={\color{red}-}\frac{2M_{e}}{\hbar^{2}}(V_{0}-E)=\frac{2M_{e}}{\hbar^{2}}(E-V_{0})$
[/mm]
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 15:35 Sa 20.08.2011 | | Autor: | mb588 |
Naja für die Bereiche II und III, also gerade die Barrieren, da gilt [mm] E
Das müsste ja eigentlich nur eine Konstruktionssache sein, also je nach dem wie ich den Potentialtopf konstruiere. Und in diesm Fall ist [mm] V_{0}>0
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mo 22.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Mo 22.08.2011 | | Autor: | notinX |
> Naja für die Bereiche II und III, also gerade die
> Barrieren, da gilt [mm]E
Welche Bereiche meinst Du mit II und III? Wenn man sie chronologisch 'von links nach rechts' durchnummeriert ist die Barriere in I und III. Und wo steht, dass [mm]E
> ist dann [mm]\kappa^{2}=\frac{2M_{a}}{\hbar^{2}}(V_{0}-E).[/mm]
Wenn Du mit [mm] $\psi(z)=e^{i\kappa z}$ [/mm] in die SGL: [mm] $(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}+V_{0})\psi=E\psi$ [/mm] eingehst folgt:
[mm] $\frac{\hbar^{2}}{2m}\kappa^2+V_{0}=E$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \kappa^2=\frac{2m}{\hbar^2}(E-V_0)$
[/mm]
>
> Das müsste ja eigentlich nur eine Konstruktionssache sein,
> also je nach dem wie ich den Potentialtopf konstruiere. Und
> in diesm Fall ist [mm]V_{0}>0[/mm]
Gruß,
notinX
|
|
|
|
