Potenzen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Di 08.02.2005 | | Autor: | Kaaa |
Ich muss als Hausaufgabe u.a. die Potenz 7^(1999) lösen und deren letzte Ziffer bestimmen, jedoch erhalte ich mit meinem Taschenrechner kein Ergebnis. Er zeigt mir lediglich "MaError" an. Aber Warum??? Wie lautet das Ergebnis???
Danke im Voraus!
kaaa
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Hallo Kaaa!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich muss als Hausaufgabe u.a. die Potenz 7^(1999) lösen und
> deren letzte Ziffer bestimmen, jedoch erhalte ich mit
> meinem Taschenrechner kein Ergebnis. Er zeigt mir lediglich
> "MaError" an. Aber Warum??? Wie lautet das Ergebnis???
> Danke im Voraus!
> kaaa
Musst du nun die ganze Lösung bestimmen oder nur die letzte Ziffer?
Auf die letzte Ziffer kommst du nämlich folgendermaßen:
du schreibst die ersten Potenzen der 7 auf, solange, bis du in der letzten Ziffer ein "System" erkennst:
7,49,343,2401,16807,117649, usw.
du siehst, dass die letzte Ziffer sich folgendermaßen ändert:
7,9,3,1,7,9,3,1 also immer 7,9,3,1
das heißt, bei jeder fünften Potenz fängt diese Reihenfolge wieder von vorne an (das kann man sich übrigens auch leicht erklären, denn du multiplizierst ja quasi immer die Zahl mit 7, und beim schriftlichen Multiplizieren fängt man ja hinten an, multipliziert also die letzte Ziffer immer mit 7, und es gilt:
7*7=49, 7*9=63, 7*3=21 usw.)
Nun müssen wir nur noch gucken, welche dieser drei Zahlen denn nun bei der 1999 dran ist, das machen wir einfach mit "modulo" - das ist der Rest bei der ganzzahligen Division. Wir rechnen also:
1999:4=499 Rest: 3, also ist die letzte Ziffer deiner Potenz die dritte unserer Reihenfolge, also die 3.
Ich denke, für die 10. Klasse müsste die Erklärung so reichen.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Di 08.02.2005 | | Autor: | abi05bw |
"MaError" bedeutet, dass dein Taschenrechner überfordert ist. Die Lösung hat zu viele ziffern. (Beitrag gekürzt, da zeitgleich mit erster Antwort gesendet - löschen ist irgendwie nicht mgl.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Di 08.02.2005 | | Autor: | Bastiane |
Dann empfiehl doch mal ein Computerprogramm - meins streikt nämlich auch! 
MfG
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Di 08.02.2005 | | Autor: | abi05bw |
Im Notfall schreib dir eins in Delphi - schlugt zwar rechenzeit müsste aber funken
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Hallo,
ich habe folgenden Ansatz:
Stelle sämtliche Potenzen von 7 modulo 10 dar:
[mm]\begin{gathered}
7^{1} \; \equiv \;7\;\bmod 10 \hfill \\
7^{2} \; \equiv \;9\;\bmod 10 \hfill \\
7^{3} \; \equiv \;3\;\bmod 10 \hfill \\
7^{4} \; \equiv \;1\;\bmod 10 \hfill \\
7^{5} \; \equiv \;7\;\bmod 10 \hfill \\
7^{6} \; \equiv \;9\;\bmod 10 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Nun gilt:
[mm]7^{1999} \; = \;\left( {7^{4} } \right)^{499} \;7^{3}[/mm]
Ergo ist
[mm]\begin{gathered}
7^{1999} \; \equiv \;\left( {7^{4} } \right)^{499} \;7^{3} \hfill \\
\Rightarrow 7^{1999} \; \equiv \;\left( 1 \right)^{499} \;3 \hfill \\
\Rightarrow 7^{1999} \; \equiv \;3 \hfill \\
\end{gathered}[/mm]
Die letzte Ziffer von [mm]7^{1999} [/mm] ist demnach 3.
Gruß
MathePower
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![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]"){kind=small}
