Potenzen A_{n} < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Mo 23.01.2012 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | Berechnen Sie alle Potenzen [mm] A_{n}, [/mm] n [mm] \in [/mm] N für die Matrix
A = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
sowie für die Matrix
B [mm] =\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
mit Hilfe der Fibonacci-Zahlen [mm] f_{0} [/mm] = [mm] f_{1}=1, f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1. |
also ich versteh das so:
In der Angabe steht: [mm] f_{0} [/mm] = [mm] f_{1}=1
[/mm]
Also hab ich durch die beiden Funktionswerte einen gleichbedeutenden 2-dim. Vektor:
[mm] \vektor{f_{0} \\ f_{1}}=\vektor{1\\ 1}
[/mm]
ich will es nun für alle potenzen verallgemeinern, dh. ich benutze die funktionswerte [mm] f_{n} [/mm] und [mm] f_{n+1}
[/mm]
[mm] \vektor{f_{n} \\ f_{n+1}}
[/mm]
jetzt kann ich das natürlich in eine Matrix-Vektor Kombi umschreiben:
[mm] \vektor{f_{n} \\ f_{n+1}}= \pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 0 } \vektor{f_{n} \\ f_{n-1}}
[/mm]
das ganze war jetzt rekusiv.
wie komm ich jetzt dann auf die nicht rekusive Formel?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
so wie ich das verstehe, sollst Du
[mm] $A^2=A*A, A^3=A*A*A, A^4, \ldots$ [/mm] (und für B genauso)
berechnen. Dabei soll Dir auffallen, daß die Fibunaccizahlen irgendwo auftauchen.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mo 23.01.2012 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | Betrachten Sie die lineare Abbildung f = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] : [mm] R^{2}-->R^{2} [/mm] mit [mm] f(x,y)^{T} [/mm] = [mm] (x+y,x)^{T}.
[/mm]
Zeigen sie allgemein für [mm] \vektor{x _{k}\\ y_{k}} [/mm] = [mm] f^{k}(e_{1} [/mm] die Rekursionsformeln
[mm] x_{0} [/mm] = 1, [mm] y_{0} [/mm] = 0,
[mm] x_{1} [/mm] = 1, [mm] y_{1} [/mm] = 1,
[mm] x_{k+1 }= x_{k} [/mm] + [mm] x_{k−1}, y_{k+1} [/mm] = [mm] x_{k} [/mm] |
Ich hab die gleiche Aufgabe (denk ich mal) nur ein bischen anders geschrieben gefunden... also bezogen auf die 2. angegebene Matrix B.
In der Lösung wird zuerst
[mm] x_{0} [/mm] = 1, [mm] y_{0} [/mm] = 0,
[mm] x_{1} [/mm] = 1, [mm] y_{1} [/mm] = 1,
gezeigt (trivial)
Probleme hab ich dann bei [mm] x_{k+1 }= x_{k} [/mm] + [mm] x_{k−1}, y_{k+1} [/mm] = [mm] x_{k}
[/mm]
[mm] f^{k+1}=\vektor{x _{k+1}\\ y_{k+1}}
[/mm]
benutze ich jetzt die Abbildungsvorschrift die durch die Matrix B gegeben ist:
[mm] f\vektor{x \\ y}= \vektor{x+y \\ y}
[/mm]
müsste ich doch irgendwie auf x _{k+1}=[] und [mm] y_{k+1}=[] [/mm] kommen oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Mo 23.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du f auf [mm] e_i [/mm] anwendest hast du die zSpalten der matrix und die Formel für f, darus folgt die für [mm] f^2 [/mm] und schließlich [mm] f^k [/mm] durch Induktion.
gruss leduart
|
|
|
|
