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Hallo, habe zwei kurze Fragen zu komplexen Zahlen.
Berechne [mm] $i^i$
[/mm]
Es ist [mm] $i=e^{i\cdot (\frac{\pi}{2}+2k\pi)}$
[/mm]
Also [mm] $i^i=\left( e^{i\cdot (\frac{\pi}{2}+2k\pi)} \right)^i [/mm] = [mm] e^{i^2\cdot (\frac{\pi}{2}+2k\pi)} [/mm] = [mm] e^{- (\frac{\pi}{2}+2k\pi)} [/mm] = [mm] e^{-\frac{\pi}{2}}\cdot e^{-2k\pi}$
[/mm]
mit [mm] $k\in\mathbb{Z}$, [/mm] also habe ich insgesamt unendlich viele Lösungen!?
Berechne [mm] $\wurzel{1+i}$
[/mm]
[mm] $\phi=\frac{\pi}{4}$
[/mm]
[mm] $|1+i|=\wurzel{2}$
[/mm]
also [mm] $1+i=\wurzel{2}e^{i(\frac{\pi}{4}+2k\pi)}$
[/mm]
Wenn ich aber jetzt die Quadratwurzel ziehe ist mein k ja nicht beliebig, sondern ich betrachte nur die Fälle k=0 und k=1. Stimmt das? Warum ist das so? Warum gibts beim Ziehen der n-ten Wurzel genau n Lösungen und nicht mehr oder weniger?
Also insbesondere ist mir nicht ganz klar, warum ich oben beim Potenzieren unendlich viele Lösungen erhalte aber beim Wurzelziehen nur eine begrenzte Anzahl.
Danke!
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 So 08.02.2009 | | Autor: | pelzig |
> Hallo, habe zwei kurze Fragen zu komplexen Zahlen.
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> Berechne [mm]i^i[/mm]
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> Es ist [mm]i=e^{i\cdot (\frac{\pi}{2}+2k\pi)}[/mm]
> Also [mm]i^i=\left( e^{i\cdot (\frac{\pi}{2}+2k\pi)} \right)^i = e^{i^2\cdot (\frac{\pi}{2}+2k\pi)} = e^{- (\frac{\pi}{2}+2k\pi)} = e^{-\frac{\pi}{2}}\cdot e^{-2k\pi}[/mm]
>
> mit [mm]k\in\mathbb{Z}[/mm], also habe ich insgesamt unendlich viele
> Lösungen!?
Es ist [mm] $i^i=e^{i\log i}$ [/mm] nach Definition. Die Frage ist, was ist [mm] $\log [/mm] i$. Hier nimmt man normalerweise den Hauptwert, und der ist [mm] $i\pi/2$. [/mm] Also: [mm] $i^i=e^{-\pi/2}$. [/mm] Schau doch mal auf Wikipedia nach dem komplexen Logarithmus.
> Berechne [mm]\wurzel{1+i}[/mm]
Was soll das sein? Die Wurzel einer komplexen Zahl ist nicht definiert. Du meinst sicher die Lösungen der Gleichung [mm] $z^2-(1+i)=0$ [/mm] - davon gibt es zwei, nach dem Fundamentalsatz der Algebra. Deshalb gibt es entsprechend für die n-te Wurzel also genau n Lösungen.
> [mm]\phi=\frac{\pi}{4}[/mm]
> [mm]|1+i|=\wurzel{2}[/mm]
> also [mm]1+i=\wurzel{2}e^{i(\frac{\pi}{4}+2k\pi)}[/mm]
Sieht richtig aus.
> Wenn ich aber jetzt die Quadratwurzel ziehe ist mein k ja
> nicht beliebig, sondern ich betrachte nur die Fälle k=0 und
> k=1. Stimmt das?
Nee. Nach obigem ist [mm] $\sqrt{1+i}=\sqrt{\sqrt{2}e^{i(\frac{\pi}{4}+2k\pi)}}$, [/mm] also bleibt nur noch die Frage, was [mm] $\sqrt{e^{i(\frac{\pi}{4}+2k\pi)}}$ [/mm] sein soll. Es ist völlig egal, welches [mm] $k\in\IZ$ [/mm] wir betrachten, da [mm] $e^{i(\frac{\pi}{4}+2k\pi)}$ [/mm] einfach für alle [mm] $k\in\IZ$ [/mm] ein und dieselbe komplexe Zahl darstellt. Also dir das Leben leicht und wähle $k=0$...
> Also insbesondere ist mir nicht ganz klar, warum ich oben
> beim Potenzieren unendlich viele Lösungen erhalte aber beim
> Wurzelziehen nur eine begrenzte Anzahl.
Das Problem ist, dass die Exponentialfunktion im Komplexen nicht bijektiv ist (sie hat die Periode [mm] $2\pi [/mm] i$, daher muss man den Definitionsbereich geeignet einschränken, damit man die Umkehrfunktion [mm] $\log$ [/mm] betrachten kann.
Gruß, Robert
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Hallo,
und danke Dir schomal.
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> > Berechne [mm]\wurzel{1+i}[/mm]
> Was soll das sein? Die Wurzel einer komplexen Zahl ist
> nicht definiert. Du meinst sicher die Lösungen der
> Gleichung [mm]z^2-(1+i)=0[/mm] - davon gibt es zwei, nach dem
> Fundamentalsatz der Algebra. Deshalb gibt es entsprechend
> für die n-te Wurzel also genau n Lösungen.
>
> > [mm]\phi=\frac{\pi}{4}[/mm]
> > [mm]|1+i|=\wurzel{2}[/mm]
> > also [mm]1+i=\wurzel{2}e^{i(\frac{\pi}{4}+2k\pi)}[/mm]
> Sieht richtig aus.
>
> > Wenn ich aber jetzt die Quadratwurzel ziehe ist mein k ja
> > nicht beliebig, sondern ich betrachte nur die Fälle k=0 und
> > k=1. Stimmt das?
> Nee. Nach obigem ist
> [mm]\sqrt{1+i}=\sqrt{\sqrt{2}e^{i(\frac{\pi}{4}+2k\pi)}}[/mm], also
> bleibt nur noch die Frage, was
> [mm]\sqrt{e^{i(\frac{\pi}{4}+2k\pi)}}[/mm] sein soll. Es ist völlig
> egal, welches [mm]k\in\IZ[/mm] wir betrachten, da
> [mm]e^{i(\frac{\pi}{4}+2k\pi)}[/mm] einfach für alle [mm]k\in\IZ[/mm] ein und
> dieselbe komplexe Zahl darstellt. Also dir das Leben leicht
> und wähle [mm]k=0[/mm]...
Genau, dass ist mein Problem. Wenn ich k=0 wähle so komme ich doch insgesamt auf nur eine Lösung der Wurzel, nämlich:
[mm] \sqrt{e^{i\frac{\pi}{4}}} [/mm] = [mm] \left( e^{i\frac{\pi}{4}} \right)^{\frac{1}{2}} [/mm] = [mm] e^{i\frac{\pi}{8}} [/mm] = [mm] \cos(\frac{\pi}{8})+i\cdot\sin(\frac{\pi}{8})
[/mm]
und meine zweite Lösung erhalte ich doch, indem ich das gleiche nochmal mit k=1 durchführe, oder nicht???
Und das ist mir nicht ganz klar, warum kann ich dann nicht auch k=25 wählen..!?
Ich hoffe man versteht was ich meine.
Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Patrick!
> Und das ist mir nicht ganz klar, warum kann ich dann nicht
> auch k=25 wählen..!?
Gemäß  Moivre-Formel setzt man für die Berechnung der n-ten Wurzel alle Werte von $k \ = \ 0$ bis (einschl.) $k \ = \ n-1$ ein.
Gruß
Loddar
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