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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Di 13.03.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Zeige $|z| = 1 [mm] \Leftrightarrow [/mm] z = [mm] cos(\varphi) +isin(\varphi) [/mm] $
Bestimme alle Lösungen von $z$ mit [mm] $z^8 [/mm] = 1$ |
Das erste scheint sehr leicht zu sein:
$|z| = [mm] \sqrt {cos^2 (\varphi) +sin^2(\varphi) } [/mm] = [mm] \sqrt{1} [/mm] = 1 = z $ (kann das echt so einfach sein ??)
Wie ist das nun gemeint mit alle Lösung von z zu finden? Ich weiß nicht, was die Angabe bedeuten soll. Ist damit etwa gemeint, die Moivre'sche Formel zu benutzen um [mm] $z^8= [/mm] (cos(x) [mm] +isin(x))^8 [/mm] = cos(8x)+isin(8x)$ zu schreiben? Aber, was kann ich hier unter "der Lösung z" verstehen? Was soll das hier überhaupt sein? Wie kann ich mir das vorstellen? Soll ich etwa die Gleichung $cos(8x)+isin(8x)= 1 $ nach $x$ auflösen, ist das gemeint?
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Hallo clemenum,
> Zeige [mm]|z| = 1 \Leftrightarrow z = cos(\varphi) +isin(\varphi)[/mm]
> Bestimme alle Lösungen von [mm]z[/mm] mit [mm]z^8 = 1[/mm]
> Das erste
> scheint sehr leicht zu sein:
> [mm]|z| = \sqrt {cos^2 (\varphi) +sin^2(\varphi) } = \sqrt{1} = 1 = z[/mm]
> (kann das echt so einfach sein ??)
>
> Wie ist das nun gemeint mit alle Lösung von z zu finden?
> Ich weiß nicht, was die Angabe bedeuten soll. Ist damit
> etwa gemeint, die Moivre'sche Formel zu benutzen um [mm]z^8= (cos(x) +isin(x))^8 = cos(8x)+isin(8x)[/mm]
> zu schreiben? Aber, was kann ich hier unter "der Lösung z"
> verstehen? Was soll das hier überhaupt sein? Wie kann ich
> mir das vorstellen? Soll ich etwa die Gleichung
> [mm]cos(8x)+isin(8x)= 1[/mm] nach [mm]x[/mm] auflösen, ist das gemeint?
>
Schreibe die 1in Exponentialform: [mm]1=e^{i*0}[/mm]
Dann ist [mm]z^{8}=e^{i*0}[/mm]
Die Lösungen dieser Gleichung ergeben sich als ![[]](/images/popup.gif) 8. Einheitswurzeln.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:54 Di 13.03.2012 | | Autor: | clemenum |
Hallo Mathe-Power!
Dankeschön für Deine Antwort!
so sollte es mir bald klar werden! 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Mi 14.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeige [mm]|z| = 1 \Leftrightarrow z = cos(\varphi) +isin(\varphi)[/mm]
> Bestimme alle Lösungen von [mm]z[/mm] mit [mm]z^8 = 1[/mm]
> Das erste
> scheint sehr leicht zu sein:
> [mm]|z| = \sqrt {cos^2 (\varphi) +sin^2(\varphi) } = \sqrt{1} = 1 = z[/mm]
Das letzte "=" ist fehl am Platze !
> (kann das echt so einfach sein ??)
Wenn z = [mm] cos(\varphi) +isin(\varphi), [/mm] dann ist es in der Tat einfach zu zeigen, dass |z|=1 ist.
Das hast Du oben ja im wesentlichen getan.
Zeigen mußt Du noch: ist |z|=1, so gibt es ein [mm] \varphi \in \IR [/mm] mit: z = [mm] cos(\varphi) +isin(\varphi)
[/mm]
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> Wie ist das nun gemeint mit alle Lösung von z zu finden?
> Ich weiß nicht, was die Angabe bedeuten soll. Ist damit
> etwa gemeint, die Moivre'sche Formel zu benutzen um [mm]z^8= (cos(x) +isin(x))^8 = cos(8x)+isin(8x)[/mm]
> zu schreiben? Aber, was kann ich hier unter "der Lösung z"
> verstehen? Was soll das hier überhaupt sein? Wie kann ich
> mir das vorstellen? Soll ich etwa die Gleichung
> [mm]cos(8x)+isin(8x)= 1[/mm] nach [mm]x[/mm] auflösen, ist das gemeint?
Ganz einfach: bestimme alle z [mm] \in \IC [/mm] mit der Eigenschaft $ [mm] z^8 [/mm] = 1 $
FRED
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