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Potenzfunktionen: Frage zu Monotonie
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 Mo 11.04.2005
Autor: der_puma

hi,

ich hab folgende frage: bei potenzfunktionen mit geraden exponenten gibt es eine bestimmte menge an "x",die man einsetzen kann und wodurch f dafür streng monton fallen wird oder streng monoton steigend wird.

wie kann man nun diese menge an "x" bestimmen für die f streng mononton fallend oder steigend wird? ( zb. x wird abgebildet auf [mm] x^6 [/mm] oder x  wird abgebildet auf [mm] (x-2)^4+1) [/mm]

freundlicher gruß
christopher

        
Bezug
Potenzfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Mo 11.04.2005
Autor: Max


> hi,

Hallo Christopher,


  

> ich hab folgende frage: bei potenzfunktionen mit geraden
> exponenten gibt es eine bestimmte menge an "x",die man
> einsetzen kann und wodurch f dafür streng monton fallen
> wird oder streng monoton steigend wird.

Etwas holperig formuliert *g* Ich würde sagen, es gibt immer ein Intervall, auf dem eine Potenzfunktion mit geraden Exponenten streng monoton steigend ist.

  

> wie kann man nun diese menge an "x" bestimmen für die f
> streng mononton fallend oder steigend wird? ( zb. x wird
> abgebildet auf [mm]x^6[/mm] oder x  wird abgebildet auf [mm](x-2)^4+1)[/mm]

Nun gut, wenn du den Scheitelpunkt deiner Potenzfunktion kennst fällt es dir leichter diese Frage zu beantworten. ZB hat [mm] $f(x)=x^6$ [/mm] den Scheitelpunkt $S(0|0)$, daher ist $f$ für alle $x>0$ streng montom steigend*. Entsprechend ist $f$ für $x<0$ streng monoton fallend.

Die Funktion [mm] $g(x)=(x-2)^4+1$ [/mm] geht ja aus der Funktion [mm] $h(x)=x^4$ [/mm] mit Scheitelpunkt $S(0|0)$ hervor, indem man $h$ um 2 nach rechts und einen nach oben verschiebt, also hat $g$ den Scheitelpunkt $S(2|1)$ und ist für $x>2$ streng monoton steigend und für $x<2$ streng monoton fallend.

Manchmal wird eine Funktion auch mit $-1$ gestreckt, dann tauscht in den entsprechenden Intervallen streng monoton steigend mit streng monton fallend, zB [mm] $f(x)=-x^2$ [/mm] ist für $x>0$ streng monoton fallend und für $x<0$ streng monton steigend.

*: Sei [mm] $f(x)=x^n$. [/mm] Behauptung: Dann ist $f$ auf $(0; [mm] \infyt)$ [/mm] streng monton steigend.

$x>y [mm] \Rightarrow x^n>y^n \Rightarrow [/mm] f(x)>f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \text{ ist streng monoton steigend}$ [/mm]

Gruß Max


Bezug
                
Bezug
Potenzfunktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:44 Mo 11.04.2005
Autor: der_puma


> > hi,
>  Hallo Christopher,
>  
>
>
> > ich hab folgende frage: bei potenzfunktionen mit geraden
> > exponenten gibt es eine bestimmte menge an "x",die man
> > einsetzen kann und wodurch f dafür streng monton fallen
> > wird oder streng monoton steigend wird.
>  Etwas holperig formuliert *g* Ich würde sagen, es gibt
> immer ein Intervall, auf dem eine Potenzfunktion mit
> geraden Exponenten streng monoton steigend ist.
>  
>
> > wie kann man nun diese menge an "x" bestimmen für die f
> > streng mononton fallend oder steigend wird? ( zb. x wird
> > abgebildet auf [mm]x^6[/mm] oder x  wird abgebildet auf [mm](x-2)^4+1)[/mm]
>  
> Nun gut, wenn du den Scheitelpunkt deiner Potenzfunktion
> kennst fällt es dir leichter diese Frage zu beantworten. ZB
> hat [mm]f(x)=x^6[/mm] den Scheitelpunkt [mm]S(0|0)[/mm], daher ist [mm]f[/mm] für alle
> [mm]x>0[/mm] streng montom steigend*. Entsprechend ist [mm]f[/mm] für [mm]x<0[/mm]
> streng monoton fallend.
>  
> Die Funktion [mm]g(x)=(x-2)^4+1[/mm] geht ja aus der Funktion
> [mm]h(x)=x^4[/mm] mit Scheitelpunkt [mm]S(0|0)[/mm] hervor, indem man [mm]h[/mm] um 2
> nach rechts und einen nach oben verschiebt, also hat [mm]g[/mm] den
> Scheitelpunkt [mm]S(2|1)[/mm] und ist für [mm]x>2[/mm] streng monoton
> steigend und für [mm]x<2[/mm] streng monoton fallend.
>  
> Manchmal wird eine Funktion auch mit [mm]-1[/mm] gestreckt, dann
> tauscht in den entsprechenden Intervallen streng monoton
> steigend mit streng monton fallend, zB [mm]f(x)=-x^2[/mm] ist für
> [mm]x>0[/mm] streng monoton fallend und für [mm]x<0[/mm] streng monton
> steigend.
>  
> *: Sei [mm]f(x)=x^n[/mm]. Behauptung: Dann ist [mm]f[/mm] auf [mm](0; \infyt)[/mm]
> streng monton steigend.
>  
> [mm]x>y \Rightarrow x^n>y^n \Rightarrow f(x)>f(y) \Rightarrow f \text{ ist streng monoton steigend}[/mm]
>  
> Gruß Max
>  

hi,



also schon mal vielen dank für die antwort, so was hab ich mir auch gedacht,was mich nur irritiert ist, dass in unserrem mathebuch etwas anderes steht

[mm]g(x)=x^4-17[/mm] das wird bei x < 0 monoton fallend und bei x größer gleich 0 monoton steigend ( sorry für schriebweise)
warum denn bei größer gleich null un nicht nur bei größer null????

gruß
christopher

Bezug
                        
Bezug
Potenzfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 Mo 11.04.2005
Autor: Max

Hi Christopher,

ich habe bisher immer [mm] $\le$ [/mm] oder [mm] $\ge$ [/mm] weggelassen, weil man theoretisch in beiden Fällen die Null hinzunehmen kann! Es wäre also immer auch [mm] $x\le0$ [/mm] und [mm] $x\ge [/mm] 0$ richtig (für [mm] $x^n$). [/mm]
Ich tipe mal, dass das Buch die Null nur zu einem Intervall hinzugefügt hat, um eucg nicht zu verwirren.

Max

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Potenzfunktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 Mo 11.04.2005
Autor: der_puma


> Hi Christopher,
>  
> ich habe bisher immer [mm]\le[/mm] oder [mm]\ge[/mm] weggelassen, weil man
> theoretisch in beiden Fällen die Null hinzunehmen kann! Es
> wäre also immer auch [mm]x\le0[/mm] und [mm]x\ge 0[/mm] richtig (für [mm]x^n[/mm]).
>  Ich tipe mal, dass das Buch die Null nur zu einem
> Intervall hinzugefügt hat, um eucg nicht zu verwirren.
>  
> Max

wäre dann auch in beiden fällen [mm]x\le2[/mm] und [mm]x\ge 2[/mm] richtig gewesen?

Bezug
                                        
Bezug
Potenzfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 Mo 11.04.2005
Autor: Stefan

Hallo!

> wäre dann auch in beiden fällen [mm]x\le2[/mm] und [mm]x\ge 2[/mm]
> richtig gewesen?

Du meinst bei deiner ursprünglichen Funktion

$x [mm] \mapsto (x-2)^4+1$ [/mm] ?

Ja, auf jeden Fall. Es ist reine Geschmacksache, ob man die Extremstellen zu den Monotoniebereichen hinzunimmt oder nicht. Per definitionem darf man das jedenfalls.

Viele Grüße
Stefan

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Potenzfunktionen: danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:48 Di 12.04.2005
Autor: der_puma

alles klar danke das wolllt ich wissen

gruß christopher

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