Potenzfunktionen (Alpha) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:42 Di 27.07.2010 | | Autor: | AlexM |
| Aufgabe | N^(alpha)*K^(1-alpha)=W/P
Bestimmen sie das gewinnmaximale Arbeitsangebot sowie Kapitalangebot!
(Leiten sie die Funktion nach N ab und lösen sie auf)
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Liebe Forengemeinde,
ich habe irgendwie Probleme beim Ableiten einer solchen Funktion mit Parametern in der Potenz!In dieser Aufgabe muss ich die Funktion F(N,K) einfach nur einmal nach N ableiten und auflösen und einmal nach K ableiten und auflösen. Ich verrechne mich jedoch häufig, da ich Probleme habe 1-alpha abzuleiten. Könnt ihr mir Tipps geben, wie ich am Besten mit so einer Aufgabe verfahren soll ohne Fehler zu machen?Ich schreibe morgen Klausur in VWL 2 und muss solche Dinger einfach können...Für Hilfe jeglicher Art wäre ich euch sehr dankbar..
Viele Grüße
AlexM
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm] N^{\alpha}*K^{\alpha-1}=W/P
[/mm]
> Bestimmen sie das gewinnmaximale Arbeitsangebot sowie
> Kapitalangebot!
> (Leiten sie die Funktion nach N ab und lösen sie auf)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine Aufgabenstellung ist mir im Moment noch nicht ganz klar:
was ist W/P?
Ist [mm] N^{\alpha}*K^{\alpha-1} [/mm] die Funktionsgleichung der Funktion F(N,K), oder ist [mm] N^{\alpha}*K^{\alpha-1}=W/P [/mm] die Nebenbedingung und und die zu maximierende Funktion nicht gepostet?
Aber wenn ich Dich recht verstehe, ist die konkrete Aufgabe für Dich eher nebensächlich, und Du möchtest Tips, wie Du möglichst zerstörungsfrei ableiten kannst, wenn Parameter im Spiel sind. Richtig?
Wir nehmen jetzt mal [mm] F(N,K)=N^{\alpha}*K^{\alpha-1} [/mm] und stellen uns vor, daß Du diese Funktion ableiten sollst nach N und K und ob der Buchstaben verwirrt bist.
Tip1:
Erfahrungsgemäß fällt meist das Ableiten nach x leichter als das Ableiten nach anderen Buchstaben.
Wenn Du nun [mm] \bruch{\partial F}{\partial N}(N,K) [/mm] berechnen möchstest, könntest Du als Erste-Hilfe-Maßnahme der Erkenntnis "Namen sind Schall und Rauch" folgend die Differentiationsvariable N kurzerhand umtaufen in x.
Du hast dann [mm] F(x,K)=x^{\alpha}*K^{\alpha-1} [/mm] , und dies würdest Du nach x ableiten und am Ende wieder umtaufen.
Tip2:
Wenn Du sehr unerfahren bist, gruselt es Dich beim Gedanken ans Ableiten von [mm] F(x,K)=x^{\alpha}*K^{\alpha-1} [/mm] immer noch.
Mach Dir klar: wenn Du den Wunsch hast, das ganze nach x abzuleiten, dann sind alle anderen Buchstaben Konstanten, also so, als stünden dort irgendwelche Zahlen.
Um Dir selbst auf die Sprünge zu helfen, kannst Du als Vorübung fürs Lösen der eigentlichen Aufgabe mal zahlen einsetzen, z.B. N=3 und [mm] \alpha=7.
[/mm]
Dann hast Du [mm] f(x)=x^7*3^{7-1}.
[/mm]
Wenn Du dies betrachtest, wirst Du wissen, wie Du ableiten mußt: [mm] 3^{7-1} [/mm] ist ein konstanter Faktor, und [mm] x^7 [/mm] leitet man mit der Potenzregel ab.
Also [mm] f'(x)=7*x^{7-1}*3^{7-1}.
[/mm]
Nun sollte es Dir gelingen, F(x,K) nach x zu differenzieren.
Übung macht den Meister, wenn man es oft genug gemacht hat, dann braucht man die Zwischenschritte bald nicht mehr.
Versuch mal ein paar Beispiele, vielleicht schaffst Du es, daß Du bis morgen schon der Groschen gefallen ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Di 27.07.2010 | | Autor: | AlexM |
Hallo Angela,
erst einmal vielen Dank für die Hilfe!
Das einmalige Ableiten der Funktion ist kein Problem,nur wie ich danach mit den Faktoren umgehe eher.
Angenommen ich leite F(N,K) nur nach N ab...
=> [mm] \alpha*N^{\alpha-1}*K^{1-\alpha}
[/mm]
Dies ist dann das Ergebnis..wie forme ich das jetzt am Besten um, wenn ich einfach nur N ohne Hochzahl haben möchte? Also einfach nur N?
W/P könnten wir als konstanten Parameter nehmen, wir sollen dann einfach N als Funktion von W/P bestimmen. Es geht mir eher darum zu schauen wie ich diese Potenzfunktionen mit Parameter am Besten umforme.
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Hallo Alex,
> Hallo Angela,
>
> erst einmal vielen Dank für die Hilfe!
>
> Das einmalige Ableiten der Funktion ist kein Problem,nur
> wie ich danach mit den Faktoren umgehe eher.
>
> Angenommen ich leite F(N,K) nur nach N ab...
>
> => [mm]\alpha*N^{\alpha-1}*K^{1-\alpha}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dies ist dann das Ergebnis..wie forme ich das jetzt am
> Besten um, wenn ich einfach nur N ohne Hochzahl haben
> möchte? Also einfach nur N?
So ganz verstehe ich das hier auch nicht ...
Du kannst nur Gleichungen auflösen, du hast hier nur einen Term.
Aber schreiben wir es mal so:
[mm] $\frac{\partial F}{\partial N}=\alpha\cdot{}N^{\alpha-1}\cdot{}K^{1-\alpha}$
[/mm]
Hier multipliziere die Gleichung mit [mm] $K^{a-1}$
[/mm]
Bedenke [mm] $K^{1-\alpha}\cdot{}K^{\alpha-1}=K^{1-\alpha+\alpha-1}=K^0=1$
[/mm]
Das gibt:
[mm] $K^{\alpha-1}\cdot{}\frac{\partial F}{\partial N}=\alpha\cdot{}N^{\alpha-1}\cdot{}1=\alpha\cdot{}N^{\alpha-1}$
[/mm]
Nun durch [mm] $\alpha$ [/mm] teilen:
[mm] $\Rightarrow \frac{K^{\alpha-1}}{\alpha}\cdot{}\frac{\partial F}{\partial N}=N^{\alpha-1}$
[/mm]
Nun hast du $N$ isoliert, wie löst du nun nach $N$ auf?
>
> W/P könnten wir als konstanten Parameter nehmen, wir
> sollen dann einfach N als Funktion von W/P bestimmen. Es
> geht mir eher darum zu schauen wie ich diese
> Potenzfunktionen mit Parameter am Besten umforme.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Di 27.07.2010 | | Autor: | AlexM |
Natürlich kann ich hier nicht den kompletten makroökonomischen Kontext darlegen jedoch muss dass N dann auch ohne Exponenten stehen und das K darf nicht =1 sein ,sondern muss als Variable noch erscheinen.
Im Allgemeinen benötige ich Tipps wie ich mit Potenzen die alpha und 1-alpha lauten umgehen können und ohne Probleme mit diesen rechnen müssen.
In dieser Aufgabe muss ich einfach N(=Beschäftigung) als Funktion vom Kapital schreiben und von W/P(=Realllohn), nehmen wir ein einfaches Zahlenbeispiel:
[mm] N^0,5*K^0,5=1/2 [/mm] (1=W,2=P) ; K=100....
'
Wir berechnen nun die gewinnmax. Arbeitsnachfrage N:
F(N,K) leiten wir nun nach N ab und lösen wir auf:
0,5*N^(-0,5)*K^(0,5)=1/2
0,5*K^(0,5)/N^(0,5)=1/2
[mm] 1/2*N^{0,5}=0,5*100^1/2
[/mm]
1/2*N^(0,5)=5 (/1/2)
[mm] N^0,5=10 [/mm] (quadrieren)
N=100
So muss man auch mit dem oben genannten Term mit alpha verfahren, jedoch habe ich Probleme diese Umformungen , welche ich hier mit Zahlenn gemacht habe darauf anzuwenden.
Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Di 27.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Wenn ich Dich richtig verstehe gehts Dir darum, wie man eine Gleichung der Form
$ [mm] \alpha\cdot{}N^{\alpha-1}\cdot{}K^{1-\alpha} [/mm] =p$
nach N auflöst.
1. Schritt: teile durch [mm] \alpha
[/mm]
2. Schritt: teile durch [mm] K^{1-\alpha}
[/mm]
3. Schritt: ziehe die [mm] (\alpha-1) [/mm] -te Wurzel
Arbeite dieses Programm mal ab.
FRED
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Hallo Fred,
exakt dies hatte ich schon oben versucht, dem Fragesteller zu verdeutlichen unter Vertauschung von 1) und 2) 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Di 27.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> exakt dies hatte ich schon oben versucht, dem Fragesteller
> zu verdeutlichen unter Vertauschung von 1) und 2)
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Pardon, hab wohl nicht so genau hingesehen.
Gruß FRED
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