Potenzmenge, Surjektion < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A eine Menge und [mm] $\mathcal{P} \left( A \right)$ [/mm] ihre Potenzmenge. Man beweise, dass es keine surjektive Abbildung $A [mm] \to \mathcal{P} \left( A \right)$ [/mm] gibt.
Hinweis: Sei $f:A [mm] \to \mathcal{P} \left( A \right)$ [/mm] eine beliebige Abbildung. Zeige, dass [mm] $\{ a \in A : a \not\in f \left( a \right) \}$ [/mm] nicht im Bild von f liegt. |
Hallo Freunde der Mathematik,
ich wollte wissen, ob mein Beweis stimmt. Ich bin mir nicht so sicher.
Vor.: A eine Menge und [mm] $\mathcal{P} \left( A \right)$ [/mm] ihre Potenzmenge, $f:A [mm] \to \mathcal{P} \left( A \right)$ [/mm] eine beliebige Abbildung, [mm] $\{ a \in A : a \not\in f \left( a \right) \}$ [/mm]
Beh.: f ist nicht surjektiv
Bew.: Nach Definition muss es zu jedem Element eines Bildes einer Abbildung mindestens ein Element des Urbildes zugeordnet werden. Dann heißt die Abbildung ist surjektiv.
Sei nun $ [mm] f\left( a \right) [/mm] = [mm] \emptyset \in \mathcal{P} \left( A \right) \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] A: a [mm] \not\in [/mm] f [mm] \left( a \right) [/mm] $. Dies verletzt auch die eigentliche Definition von "Surjektivität", denn die leere Menge, eben weil sie keine Elemente besitzt, keine Abbildung definiert.
Liebe Grüße
Christoph
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> Sei A eine Menge und [mm]\mathcal{P} \left( A \right)[/mm] ihre
> Potenzmenge. Man beweise, dass es keine surjektive
> Abbildung [mm]A \to \mathcal{P} \left( A \right)[/mm] gibt.
>
> Hinweis: Sei [mm]f:A \to \mathcal{P} \left( A \right)[/mm] eine
> beliebige Abbildung. Zeige, dass [mm]\{ a \in A : a \not\in f \left( a \right) \}[/mm]
> nicht im Bild von f liegt.
>
> Hallo Freunde der Mathematik,
>
> ich wollte wissen, ob mein Beweis stimmt. Ich bin mir nicht
> so sicher.
>
> Vor.: A eine Menge und [mm]\mathcal{P} \left( A \right)[/mm] ihre
> Potenzmenge, [mm]f:A \to \mathcal{P} \left( A \right)[/mm] eine
> beliebige Abbildung, [mm]\{ a \in A : a \not\in f \left( a \right) \}[/mm]
>
> Beh.: f ist nicht surjektiv
>
> Bew.: Nach Definition muss es zu jedem Element eines Bildes
> einer Abbildung mindestens ein Element des Urbildes
> zugeordnet werden. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Dann heißt die Abbildung ist
> surjektiv.![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Demnach wäre jede Abbildung surjektiv.
Unter dem Bild von f versteht man alle Elemente der Wertemenge, auf die ein Element der Definitionsmenge abgebildet wird.
Ist z.B. f: [mm] \IZ \mapsto \IZ [/mm] mit f(x)=2x, so ist [mm] Bild(f)=2\IZ=\{0,2,-2,4,-4,6,-6,...\} [/mm] die Menge der geraden ganzen Zahlen. Jedes Element aus bild(f) hat ein Urbild, z.B. die -12 den x-Wert -6; aber nicht jedes Element aus [mm] \IZ [/mm] hat ein Urbild, nämlich 5 hat z.B. keines.
Eine Abbildung f: A [mm] \mapsto [/mm] B heißt surjektiv, wenn jedes Element aus B ein Urbild hat.
>
> Sei nun [mm][mm] f\left( a \right) [/mm] = [mm] \emptyset \in \mathcal{P} \left( A \right) \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] A
Wieso?
Nehmen wir mal eine ähnliche Aufgabe:
A = 2 [mm] \IN [/mm] = [mm] \{2,4,6,8,10,...\}
[/mm]
B = [mm] \{\{n\}|n \in \IN\} \cup \emptyset= \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\},...\}
[/mm]
f:A [mm] \mapsto [/mm] B
Setze
2 [mm] \mapsto \emptyset [/mm] (warum soll das jetzt nicht gehen?)
4 [mm] \mapsto \{1\}
[/mm]
6 [mm] \mapsto \{2\}
[/mm]
8 [mm] \mapsto \{3\}
[/mm]
10 [mm] \mapsto \{4\} [/mm] usw.
Obwohl A (scheinbar!!!) "weniger" Elemente als B hat, gibt es hier eine surjektive Abbildung.
Aber: Für [mm]A \to \mathcal{P} \left( A \right)[/mm] liegen (scheinbar!!!) ähnliche Voraussetzungen vor, doch hier findest du keine SURJEKTIVE Abbildung.
Für endliche Mengen ist das klar: [mm] \mathcal{P} \left( A \right)[/mm] hat mehr Elemente als [mm]A [/mm], und da es für jedes Element aus [mm]A [/mm] nur ein Bildelement geben kann, bleiben in [mm]\mathcal{P} \left( A \right)[/mm] Elemente übrig. Aber bei unendlichen Mengen könnte es doch klappen, wie in meinem obigen Beispiel. Warum nicht?
Der Beweis geht indirekt: Nimm an, dass es eine surjektive Abbildung f: [mm]A \to \mathcal{P} \left( A \right)[/mm] gibt. Also hat jede Untermenge von [mm]A [/mm] ein Urbild aus a.
Betrachte nun zu jedem a aus [mm]A [/mm] die Menge f(a). Sie könnte a selber enthalten oder auch nicht. Beispiele:
a f(a)
1 [mm] \{4,2,8\} [/mm] enthält 1 nicht
6 [mm] \{4,2,8\} [/mm] enthält 6 nicht
9 [mm] \{4,8,9\} [/mm] enthält 9
12 [mm] \{12\} [/mm] enthält 12
15 [mm] \{4,2,8,15\} [/mm] enthält 15
18 [mm] \{333,3\} [/mm] enthält 18 nicht usw.
Nun betrachtest du alle Elemente aus [mm]A[/mm], die nicht in ihrer Abbildungsmenge enthalten sind, in obigem Beispiel also 1, 6 und 18, und fasst diese wieder zu einer Menge zusammen. Sie ist eine Untermenge von [mm]\mathcal{P} \left( A \right)[/mm].
Zu dieser Menge findest du aber kein Urbild!!! Also ist f doch nicht surjektiv!
Warum findest du kein Urbild? Nimm an, x wäre das Urbild dieser Menge. Läge x dann in f(x) oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Di 31.07.2018 | | Autor: | fred97 |
> Sei A eine Menge und [mm]\mathcal{P} \left( A \right)[/mm] ihre
> Potenzmenge. Man beweise, dass es keine surjektive
> Abbildung [mm]A \to \mathcal{P} \left( A \right)[/mm] gibt.
>
> Hinweis: Sei [mm]f:A \to \mathcal{P} \left( A \right)[/mm] eine
> beliebige Abbildung. Zeige, dass [mm]\{ a \in A : a \not\in f \left( a \right) \}[/mm]
> nicht im Bild von f liegt.
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> Hallo Freunde der Mathematik,
>
> ich wollte wissen, ob mein Beweis stimmt. Ich bin mir nicht
> so sicher.
>
> Vor.: A eine Menge und [mm]\mathcal{P} \left( A \right)[/mm] ihre
> Potenzmenge, [mm]f:A \to \mathcal{P} \left( A \right)[/mm] eine
> beliebige Abbildung, [mm]\{ a \in A : a \not\in f \left( a \right) \}[/mm]
>
> Beh.: f ist nicht surjektiv
>
> Bew.: Nach Definition muss es zu jedem Element eines Bildes
> einer Abbildung mindestens ein Element des Urbildes
> zugeordnet werden. Dann heißt die Abbildung ist
> surjektiv.
Puuuh ! Das hast Du mächtig verkorkst, wie mein Vorredner ja auch schon angemerkt hat.
Sei $f:X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung. Dann heist [mm] $f(X):=\{f(x):x \in X\}$ [/mm] das Bild von f.
f heißt surjektiv , wenn f(X)=Y ist.
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> Sei nun [mm]f\left( a \right) = \emptyset \in \mathcal{P} \left( A \right) \Rightarrow a \in A: a \not\in f \left( a \right) [/mm].
> Dies verletzt auch die eigentliche Definition von
> "Surjektivität", denn die leere Menge, eben weil sie keine
> Elemente besitzt, keine Abbildung definiert.
Mit Verlaub, das ist völlig wirr, nicht zu verstehen und damit natürlich kein Beweis !
Sei also $f:A [mm] \to [/mm] P(A)$ eine Abbildung. Zu zeigen ist: f ist nicht surjektiv.
Damit ist zu zeigen: f(A) ist eine echte Teilmenge von P(A). Gesucht ist also eine Teilmenge B von A mit: B [mm] \notin [/mm] f(A).
Der Aufgabensteller hat es Dir leicht gemacht: er rät Dir, es mit $B= [mm] \{ a \in A : a \not\in f \left( a \right) \} [/mm] $ zu probieren.
Machen wir das mal: dazu nehmen wir an, es sei doch B [mm] \in [/mm] f(A). Damit gibt es ein a [mm] \in [/mm] A mit f(a)=B.
Schreiben wir das aus, so steht da:
(*) [mm] $f(a)=\{ a \in A : a \not\in f \left( a \right) \} [/mm] $
Nun schau Dir das mal genau an. Steht da Unsinn ? Ja, das steht Unsinn !
Warum? Darum: für a gibt es 2 Möglichkeiten:
1. a [mm] \in [/mm] f(a). Aus (*) folgt dann a [mm] \notin [/mm] f(a).
2. a [mm] \notin [/mm] f(a): Aus (*) folgt dann a [mm] \in [/mm] f(a).
Dieser Unsinn zeigt: die Menge B liegt nicht im Bild von f.
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> Liebe Grüße
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> Christoph
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Hallo,
danke für eure Antworten. Deine Antwort Fred ist gut verständlich, aber was mich nach wie vor stört ist, dass man ohne weiteres ein $a [mm] \in [/mm] A$ zu [mm] $\emptyset \in \mathcal{P}\left( A \right)$ [/mm] abbilden kann. Meiner Auffassung nach, die ich auch versucht habe darzulegen, kann doch schon deswegen keine Surjektion stattfinden, weil die leere Menge eben leer ist. Somit kann auch nichts abgebildet werden.
Vielen Dank schon mal im Voraus.
Christoph
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> mich nach wie vor stört ist, dass
> man ohne weiteres ein [mm]a \in A[/mm] zu [mm]\emptyset \in \mathcal{P}\left( A \right)[/mm]
> abbilden kann. Meiner Auffassung nach, die ich auch
> versucht habe darzulegen, kann doch schon deswegen keine
> Surjektion stattfinden, weil die leere Menge eben leer ist.
> Somit kann auch nichts abgebildet werden.
Hallo,
nehmen wir mal
[mm] A:=\{1,2\},
[/mm]
[mm] B:=\{\emptyset, \{a,b,c\}\}.
[/mm]
A enthält zwei Elemente, nämlich 1 und 2,
B enthält zwei Elemente, nämlich [mm] \emptyset [/mm] und [mm] \{a,b,c\}.
[/mm]
Nun definiere ich eine Abbildung [mm] f:A\to [/mm] B durch
[mm] f(1):=\emptyset
[/mm]
[mm] f(2):=\{a,b,c\}.
[/mm]
Warum sollte das nicht gehen?
Die leere Menge ist leer. So wie eine leere Flasche leer ist. Und diese leere Flasche (Menge) ist nunmal ein Element der Bildmenge B.
Die 1 wird hier auf die leere Flasche abgebildet. No problem.
Und die obige Abbildung ist sogar surjektiv.
Aber wenn die Bildmenge B die Potenzmenge von A ist, schafft man es eben nicht, eine surjektive Abbildung zu definieren - was Du zeigen sollst.
LG Angela
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Hallo Angela,
ich habe folgendes gelesen, was mich zu ebendiesen Zweifeln führte: ![[]](/images/popup.gif) https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)#Definition
Dort steht als Definition, dass jedem Element x genau ein y zugeordnet wird. Aber wie soll das funktionieren, wenn die leere Menge keine Elemente enthält? Dann gäbe es doch kein y was jedem x zugeordnet werden könnte.
Mit freundlichem Gruß
Christoph
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> Hallo Angela,
>
> ich habe folgendes gelesen, was mich zu ebendiesen Zweifeln
> führte:
> https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)#Definition
>
> Dort steht als Definition, dass jedem Element x genau ein y
> zugeordnet wird. Aber wie soll das funktionieren, wenn die
> leere Menge keine Elemente enthält? Dann gäbe es doch
> kein y was jedem x zugeordnet werden könnte.
Hallo,
da hast Du recht.
Eine Funktion f, die beispielsweise aus der Menge [mm] \{1,2\} [/mm] in die leere Menge [mm] \emptyset [/mm] abbildet, gibt es nicht,
denn wie Du oben schreibst, müßte jedem Element [mm] aus \{1,2\} [/mm] eins aus der Zielmenge [mm] \emptyset [/mm] zugeordnet werden, was jedoch nicht funktionieren kann, da überhaupt kein Element drin ist.
Aber
eine Funktion f, die aus der Menge [mm] \{1,2\} [/mm] in die [mm] Menge\{\emptyset\} [/mm] abbildet, gibt es!
Die Zielmenge [mm] \{\emptyset\} [/mm] ist nämlich nicht leer: es ist die Menge, die als Element die leere Menge enthält,
und wir können definieren
[mm] f:\{1,2\}\to \{\emptyset\} [/mm] mit
[mm] f(1):=\emptyset
[/mm]
[mm] f(2):=\emptyset.
[/mm]
In Deiner ursprünglichen Aufgabe geht es um eine Abbildung f aus der Menge A in ihre Potenzmenge P(A).
Die Elemente von P(A) sind Mengen,
und die Funktion f ordnet folglich jedem Element aus A ein Element aus P(A) zu - nämlich eine Teilmenge von A.
Daran, daß dies keine Surjektion sein kann, ist nicht die leere Menge schuld.
LG Angela
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>
> Mit freundlichem Gruß
>
> Christoph
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Vielen Dank euch allen. Ich denke, ich habe soweit alles verstanden. Sollte ich doch noch Fragen haben schreibe ich sie hier rein.
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