Potenzmenge als sigma-Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei B eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] von Teilmengen einer Menge M. Begründe, ob gilt: Wenn {x} [mm] \in [/mm] B [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M dann ist B die Potenzmenge von M. |
Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen von M.
Irgendwie logisch, dass wenn obiges gilt, dann B die Potenzmenge von M sein muss, aber wie kann ichs begründen?
Mit einer abzählbaren Menge M kann man argumentieren, dass dann mit [mm] M:=\{m_1, m_2, m_3, ...\} [/mm] jeweils alle "Kombinationen" dieser Elemente in B sein müssen, da die Vereinigung aller Mengen in der [mm] \sigma-Algebra [/mm] drin sein müssen (Es sind eben alle Teilmengen von M "konstruierbar" so). Wie aber ist die Argumentation für eine überabzählbare Menge, bspweise [mm] \IR [/mm] ?
Jmd. vlt. bitte eine Idee oder gehts hier in eine andere Richtung und ich müsste einen Widerspruch finden?
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:44 Di 02.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] M=\IR [/mm] und B die Borelsche [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf M.
Dann gilt
{x} $ [mm] \in [/mm] $ B $ [mm] \forall [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ M (warum ?)
aber B ist nicht die Potenzmenge von M (warum ?)
FRED
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Ist das so, weil [mm] \IQ [/mm] keine Borelmenge ist? Meiner Meinung nach kann man aber doch das Komplement von bspweise ( [mm] (-\inf [/mm] , r ) [mm] \cup (r,\inf) [/mm] ) nehmen und hat dann eine rationale Zahl wenn r [mm] \in \IQ
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Di 02.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ist das so, weil [mm]\IQ[/mm] keine Borelmenge ist?
Unsinn. [mm] \IQ [/mm] ist eine Borelmenge !
> Meiner Meinung
> nach kann man aber doch das Komplement von bspweise (
> [mm](-\inf[/mm] , r ) [mm]\cup (r,\inf)[/mm] ) nehmen und hat dann eine
> rationale Zahl wenn r [mm]\in \IQ[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Di 02.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist das so, weil [mm]\IQ[/mm] keine Borelmenge ist?
jede abzählbare, abzählbar endlich oder abzählbar unendlich, Teilmenge
von [mm] $\IR$ [/mm] gehört zur Borelschen Sigma-Algebra auf [mm] $\IR\,.$ [/mm]
> Meiner Meinung
> nach kann man aber doch das Komplement von bspweise (
> [mm](-\inf[/mm] , r ) [mm]\cup (r,\inf)[/mm] ) nehmen und hat dann eine
> rationale Zahl wenn r [mm]\in \IQ[/mm]
Meiner Meinung nach ist dieser Satz absolut unklar. Was willst Du uns nun
sagen, oder fragen? Natürlich ist [mm] $((-\infty,r) \cup (r,\infty))^c=\{r\}\,,$
[/mm]
sogar für jedes $r [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Und was ist nun "Deine Meinung"?
Gruß,
Marcel
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{x} $ [mm] \in [/mm] $ B $ [mm] \forall [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ M (warum ?)
Weil das Komplement von ( $ [mm] (-\infty [/mm] $ , r ) $ [mm] \cup (r,\infty) [/mm] $ ) ist r für r [mm] \in \IR [/mm] ?? Warum bitte?
aber B ist nicht die Potenzmenge von M (warum ?)
Auch hier weiss ich nicht, warum. Worauf willst du hinaus?
Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Di 02.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> {x} [mm]\in[/mm] B [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M (warum ?)
> Weil das Komplement von ( [mm](-\infty[/mm] , r ) [mm]\cup (r,\infty)[/mm]
> ) ist r für r [mm]\in \IR[/mm] ?? Warum bitte?
Ja, ( [mm](-\infty[/mm] , x ) [mm]\cup (x,\infty)[/mm] ist offen, also eine Borel-Menge. Damit ist { x } , als Komplement dieser Bore-Menge, ebenfalls eine borelsche Menge.
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> aber B ist nicht die Potenzmenge von M (warum ?)
>
> Auch hier weiss ich nicht, warum. Worauf willst du hinaus?
Satz von Vitali.
FRED
>
> Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Di 02.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> {x} [mm]\in[/mm] B [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M (warum ?)
> Weil das Komplement von ( [mm](-\infty[/mm] , r ) [mm]\cup (r,\infty)[/mm]
> ) ist r für r [mm]\in \IR[/mm] ??
denk' bitte über das, was Du schreibst, nach. Es ist zwar nur eine
Minimalität, aber sie nicht zu beachten kann darauf hindeuten, dass
Du etwas noch nicht verstanden hast. Was ist das Komplement einer
Menge? Doch sicher nicht eine Zahl. [mm] $(-\infty,r) \cup (r,\infty)=\{x \in \IR: x < r \text{ oder } x > r\}$ [/mm]
ist eine Menge, ihr Komplement (bzgl. [mm] $\IR$ [/mm] gebildet) also auch wieder
eine Menge!!
Also ist [mm] $((-\infty,r) \cup [/mm] (r, [mm] \infty))^c \not=r\,,$ [/mm] sondern es ist
[mm] $$((-\infty,r) \cup [/mm] (r, [mm] \infty))^c=\red{\{}\text{...}\red{\}}$$
[/mm]
(Was gehört wohl in die Mengenklammer anstelle der ...?)
> Warum bitte?
Endliche Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] sind notwendigerweise abgeschlossen.
(Natürlich kannst Du auch zeigen, dass einelementige Teilmengen
notwendigerweise abgeschlossen sind - das folgt aber aus der obigen
Behauptung, und die ist nur minimal schwerer zu beweisen!)
Beweis' das mal! (Und zwar direkt, d.h. ohne zu zeigen, dass das
Komplement offen ist! Ich fang' mal an:
Sei also $E [mm] \subseteq \IR$ [/mm] endlich, etwa $|E|=n [mm] \in \IN$ [/mm] und
[mm] $E=\{e_1,\ldots,e_n\}$. [/mm] Seien alle [mm] $x_n \in [/mm] E$ so, dass [mm] $x_n \to [/mm] x$ mit
einem $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Dann haben wir zu zeigen, dass für $x [mm] \in \IR$ [/mm] schon
folgt ...)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Di 02.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei B eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] von Teilmengen einer Menge M.
nebenbei: Sigma-Algebren sind immer Teilmengen der Potenzmenge von [mm] $M\,.$
[/mm]
Der Zusatz "von Teilmengen einer Menge [mm] $M\,$" [/mm] ist unnötig, es reicht vollkommen,
zu sagen: "Sei [mm] $B\,$ [/mm] Sigma-Algebra auf [mm] $M\,.$"
[/mm]
> Begründe, ob gilt: Wenn {x} [mm]\in[/mm] B [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M dann ist
> B die Potenzmenge von M.
Ich mache es mal ein wenig anders wie Fred:
Wir setzen für zunächst irgendeine Menge [mm] $M\,$ [/mm]
[mm] $$S:=\{A \subseteq M: \;\;A \text{ ist abzählbar oder }A^c \text{ ist abzählbar}\}$$
[/mm]
mit [mm] $A^c:=M \setminus [/mm] A$ für alle $A [mm] \subseteq M\,.$
[/mm]
[mm] $S\,$ [/mm] ist eine Sigma-Algebra auf [mm] $M\,$ [/mm] (falls unbekannt: beweisen!!) und [mm] $S\,$ [/mm] erfüllt
[mm] $\{x\} \in [/mm] S$ für alle $x [mm] \in M\,.$ ($S\,$ [/mm] übernimmt also die Rolle des obigen [mm] $B\,.$)
[/mm]
Du kannst nun aber schnell eine Menge [mm] $M\,$ [/mm] finden mit [mm] $\blue{S} \varsubsetneqq 2^M=\text{Pot(M)}\,.$
[/mm]
(Edit: Korrigiert! Danke, Wolfgang!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Di 02.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
> Wir setzen für zunächst irgendeine Menge [mm]M\,[/mm]
> [mm]S:=\{A \subseteq M: \;\;A \text{ ist abzählbar oder }A^c \text{ ist abzählbar}\}[/mm]
>
> mit [mm]A^c:=M \setminus A[/mm] für alle [mm]A \subseteq M\,.[/mm]
>
> [mm]S\,[/mm] ist eine Sigma-Algebra auf [mm]M\,[/mm] (falls unbekannt:
> beweisen!!) und [mm]S\,[/mm] erfüllt
> [mm]\{x\} \in S[/mm] für alle [mm]x \in M\,.[/mm] ([mm]S\,[/mm] übernimmt also die
> Rolle des obigen [mm]B\,.[/mm])
>
> Du kannst nun aber schnell eine Menge [mm]M\,[/mm] finden mit [mm]T \varsubsetneqq 2^M=\text{Pot(M)}\,.[/mm]
Du meinst sicher:
> Du kannst nun aber schnell eine Menge [mm]M\,[/mm] finden mit [mm]S \varsubsetneqq 2^M=\text{Pot(M)}\,.[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Di 02.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
>
> > Wir setzen für zunächst irgendeine Menge [mm]M\,[/mm]
> > [mm]S:=\{A \subseteq M: \;\;A \text{ ist abzählbar oder }A^c \text{ ist abzählbar}\}[/mm]
>
> >
> > mit [mm]A^c:=M \setminus A[/mm] für alle [mm]A \subseteq M\,.[/mm]
> >
> > [mm]S\,[/mm] ist eine Sigma-Algebra auf [mm]M\,[/mm] (falls unbekannt:
> > beweisen!!) und [mm]S\,[/mm] erfüllt
> > [mm]\{x\} \in S[/mm] für alle [mm]x \in M\,.[/mm] ([mm]S\,[/mm] übernimmt also die
> > Rolle des obigen [mm]B\,.[/mm])
> >
> > Du kannst nun aber schnell eine Menge [mm]M\,[/mm] finden mit [mm]T \varsubsetneqq 2^M=\text{Pot(M)}\,.[/mm]
>
> Du meinst sicher:
> > Du kannst nun aber schnell eine Menge [mm]M\,[/mm] finden mit [mm]S \varsubsetneqq 2^M=\text{Pot(M)}\,.[/mm]
ja, das meinte ich. Hatte [mm] $S\,$ [/mm] zuvor [mm] $T\,$ [/mm] genannt, aber fand' dann
die Bezeichnung [mm] $S\,$ [/mm] - wegen Sigma-Algebra, besser. Die Stelle
hab' ich wohl beim Umbenennen übersehen. Das hole ich gleich nach und
ändere es.
Danke für's Drüberschauen! 
Gruß,
Marcel
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