Potenzmenge und Bijektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Di 26.10.2004 | | Autor: | Devil311 |
Hi Leute!
Ich hab an der Uni folgende Aufgabe zu lösen:
Sei M eine Menge. Betrachte die Komplementabteilung
C: Pot(M) [mm] \to [/mm] Pot(M), N [mm] \mapsto [/mm] M - N
Zeige, dass C bijektiv ist und bestimme das Inverse von C.
Könnt ihr mir da ein wenig helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Di 26.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Devil!
Um zu zeigen, dass die Abbildung bijektiv ist, musst du zeigen, dass sie wohl surjektiv als auch injektiv ist.
Injektiv:
Wir zeigen, dass eine Teilmenge höchstens ein Komplement einer anderen Teilmenge sein kann. Dazu seien [mm] $P_1,P2\in [/mm] P(M)$ mit [mm] $P_1\not= P_2$ [/mm] zwei Teilmengen, für die gilt: [mm] $C(P_1)= C(P_2)$. [/mm] Dann gilt also: [mm] $M\setminus P_1=M\setminus P_2\gdw \{x\in M|x\notin P_1\}=\{x\in M|x\notin P_2\}$. [/mm] Wegen [mm] $P_1\not= P_2$ [/mm] gilt in jedem Falle [mm] $P_1\not= \emptyset\vee P_2\not= \emptyset$. [/mm] Sei nun o.B.d.A. [mm] $P_1$ [/mm] die Menge, die in keinem Falle die leere Menge ist. Dann gilt [mm] $P_S=P_1\setminus P_2\not= \emptyset$, [/mm] was aus [mm] $P_1\not= P_2$ [/mm] gilt zusammen mit [mm] $P_1\not= \emptyset$ [/mm] folgt. Betrachten wir nun die linke Seite der Gleichung [mm] $\{x\in M|x\notin P_1\}=\{x\in M|x\notin P_2\}$, [/mm] so gilt in jedem Falle: [mm] $\forall x\in P_S: x\notin M\setminus P_1$. [/mm] Wir können aber ausschließen, dass es ebenfalls ein Element [mm] $x\in P_S$ [/mm] gibt, welches nicht in [mm] $M\setminus P_2$ [/mm] enthalten ist, da nach Definition von [mm] $P_S$ [/mm] keines seiner Elemente in [mm] $P_2$ [/mm] liegt. Somit können beide Seiten nicht gleich sein - Widerspruch. Folglich gilt: [mm] $C(P_1)=C(P_2)\quad\gdw\quad P_1=P_2$, [/mm] q.e.d.
Surjektiv:
Sei [mm] $P_1\subseteq [/mm] M$. Dann soll gezeigt werden, dass es ein [mm] $P_2$ [/mm] mit [mm] $M\setminus P_2=P_1$ [/mm] gibt. Definieren wir nun: [mm] $P_2:=M\setminus P_1=\{x\in M|x\notin P_1\}$, [/mm] dann gilt: [mm] $M\setminus (M\setminus P_1)=\{x\in M|x\notin \{y\in M|y\notin P_1\}\}=\{x\in M|x\in P_1\}=P_1$. [/mm] In Worten heißt dies: [mm] $P_2$ [/mm] enthält alle Elemente aus $M$, die nicht in [mm] $P_1$ [/mm] liegen. Der Komplement von $M$ in dieser Menge sind dann die Elemente, die nicht nicht in [mm] $P_1$ [/mm] liegen, die also in [mm] $P_1$ [/mm] liegen.
So, hilft dir das ein wenig und schaffst du nun die Sache mit der Umkehrabbildung?
Liebe Grüße,
Hanno
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