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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 So 09.11.2008 | | Autor: | Stuo |
| Aufgabe | Es seien A,B Mengen und M ein nichtleeres Mengensystem. Zeigen Sie:
[mm] \mathcal{P}(\bigcup_{B \in M}B)\supset\bigcup_{B \in M}\mathcal{P}(B)
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin mir weder sicher ob ich diese Aussage richtig interpretiere noch, falls ich das mache, wie ich sie beweisen kann, da ich sie nicht wirklich verstehe.
Ich sehe das so:
(Die Menge aller Teilmengen der Vereinigung aller Mengen B [mm] \in [/mm] M) ist die Obermenge (der Vereinigung aller Mengen B [mm] \in [/mm] M die wiederum Teilmengen von B sind).
Kann mir jemand sagen ob meine Ansicht richtig oder falsch ist? Und es mir versuchen vereinfacht zu erklären? (falls möglich)
Danke, Stuo
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> Es seien A,B Mengen und M ein nichtleeres Mengensystem.
> Zeigen Sie:
> [mm]\mathcal{P}(\bigcup_{B \in M}B)\supset\bigcup_{B \in M}\mathcal{P}(B)[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich bin mir weder sicher ob ich diese Aussage richtig
> interpretiere noch, falls ich das mache, wie ich sie
> beweisen kann, da ich sie nicht wirklich verstehe.
>
> Ich sehe das so:
> (Die Menge aller Teilmengen der Vereinigung aller Mengen B
> [mm]\in[/mm] M) ist die Obermenge (der Vereinigung aller Mengen B
> [mm]\in[/mm] M die wiederum Teilmengen von B sind).
>
> Kann mir jemand sagen ob meine Ansicht richtig oder falsch
> ist?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Na, wenn man das in Worten sagen will, ist ein Knoten im Gehirn wirklichh nicht weit.
Die rechte Menge würde ich - wenn's sein muß - so beschreiben:
sie ist die Menge, die man erhält, wenn man von allen Mengen [mm] B\in [/mm] M jeweils die menge aller teilmengen bildet und diese dann vereinigt.
Und es mir versuchen vereinfacht zu erklären? (falls
> möglich)
Ich will's versuchen. Und zwar werde ich zur Beschreibung und Verdeutlichung die Aufgabe vereinfachen. Wir nehmen die Menge M, welche aus drei Mengen [mm] B_1, b_2, b_3 [/mm] besteht, also [mm] [b]M[/b]=\{B_1, B_2, B_3}
[/mm]
Die zu beweisende Aussage lautet dann:
[mm] \mathcal{P}(B_1) \cup \mathcal{P}(B_2) \cup\mathcal{P}(B_3) \subseteq \mathcal{P}(B_1\cup B_2 \cup B_3)
[/mm]
Teilmengenbeziehungen beweist man, indem man zeigt, daß jedes Element der linken Menge auch in der rechten Menge liegt.
Jetzt schauen wir mal, was für Objekte überhaupt die Elemente der zu betachtenden Mengen sind.
Es sind Mengen. Denn z.B. [mm] \mathcal{P}(B_1) [/mm] enthält ja als Elemente Teilmengen von [mm] B_1.
[/mm]
Nun geht's los:
Sei (die Menge) T [mm] \in \mathcal{P}(B_1) \cup \mathcal{P}(B_2) \cup\mathcal{P}(B_3)
[/mm]
==> T [mm] \in \mathcal{P}(B_1) [/mm] oder T [mm] \in \mathcal{P}(B_2) [/mm] oder T [mm] \in \mathcal{P}(B_2)
[/mm]
==> T [mm] \subseteq B_1 [/mm] oder ... jetzt Du.
Mach es erstmal für die drei, dann weißt Du in etwa, wie der Hase läuft. (Ich versuche immer, mir die Aufgaben so wiet zu vereinfachen, bis ich durchblicke, und dann langsam wieder aufzubauen.)
Gruß v. Angela
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