Potenzmenge und X Produkt < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:21 Di 30.10.2012 | | Autor: | Yaci |
| Aufgabe | Potenzmenge und kartesisches Produkt
Wir betrachten die Grundmenge [mm] G:=\IN, [/mm] sowie die Teilmenge X:={1,2}.
a) Verwenden Sie Definition 1.2.3, um (X [mm] \times [/mm] X) [mm] \times [/mm] X, sowie X [mm] \times [/mm] (X [mm] \times [/mm] X) zu bestimmen.
b) Wir definieren auf [mm] P(\IN [/mm] )eine Relation R [mm] \subseteq [/mm] P [mm] (\IN [/mm] ) [mm] \times P(\IN [/mm] ) durch (A,B) [mm] \in [/mm] R: [mm] \gdw [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B
Entscheiden Sie, ob Reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, beziehungsweise transitiv ist.
c) Finden Sie eine Teilmenge Y [mm] \subseteq \IN [/mm] und eine Relation R auf Y, so dass die Relation symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv ist. |
Hallo,
Ich habe erneut eine Frage, bei dieser Aufgabe zu b) und c).
Für die Begriffe habe ich folgende Definitionen:
- reflexiv, falls xRX für jedes [mm] x\in [/mm] X
- symmetrisch, falls für alle [mm] x,y\in [/mm] X mit rRy auch yRx gilt
- antisymmetrisch, falls für alle [mm] x,y\in [/mm] X, für die xRy und yRx gilt, x = y folgt.
- transitiv, falls für alle [mm] x,y,z\in [/mm] X mit xRy und yRz auch xRz gilt.
Was ich nun nicht verstehe (ist auch die erste Aufgabe die ich in dieser Richtung bearbeite)ist, dass wenn ich die Relation R [mm] \subseteq [/mm] P [mm] (\IN [/mm] ) [mm] \times P(\IN [/mm] ) habe, diese nochmal durch (A,B) [mm] \in [/mm] R: [mm] \gdw [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B definiert ist. Stehe da völlig auf dem Schlauch, wie ich nun eine Entscheidung treffe, welche Eigenschaften diese Relation hat.
Ist es möglich, dass die Relation symetrisch ist, da A Teilmenge B ist und ARB auch BRA ist? Dadurch wäre die Relation ja auch ebenfalls reflexiv oder?
Bei Aufgabe c) komme ich ebensowenig weiter, da ich wohl nichtmal b) richtig verstanden habe.
Ich möchte mich schonmal im voraus bei Ihnen für einen Lösungshinweis bedanken :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Di 30.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Zu b) (um c) kümmern wir uns später).
1. Gilt A [mm] \subseteq [/mm] A für jedes A [mm] \in P(\IN) [/mm] ?
Wenn ja, so ist R reflexiv, anderenfalls nicht.
2. Folgt aus A [mm] \subseteq [/mm] B auch B [mm] \subseteq [/mm] A ?
Wenn ja, so ist R symmetrisch, anderenfalls nicht.
3. Folgt aus A [mm] \subseteq [/mm] B und B [mm] \subseteq [/mm] A stets A=B ?
Wenn ja, so ist R antisymmetrisch, anderenfalls nicht.
4. Folgt aus A [mm] \subseteq [/mm] B und B [mm] \subseteq [/mm] C auch A [mm] \subseteq [/mm] C ?
Wenn ja, so ist Rtransitiv, anderenfalls nicht.
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Di 30.10.2012 | | Autor: | Yaci |
"1. Gilt A $ [mm] \subseteq [/mm] $ A für jedes A $ [mm] \in P(\IN) [/mm] $ ? "
Ich würde nein sagen, da R aus dem Kartesischen Produkt von [mm] P(\IN [/mm] ) mit sich selbst entstanden ist. So können auch Mengen wie {(2,4)} entstehen.
"2. Folgt aus A $ [mm] \subseteq [/mm] $ B auch B $ [mm] \subseteq [/mm] $ A ? "
Nein, siehe 1.
"3. Folgt aus A $ [mm] \subseteq [/mm] $ B und B $ [mm] \subseteq [/mm] $ A stets A=B ? "
Ja, habe ich anhand von einem Beispiel getestet: wenn [mm] P(\IN [/mm] )={1,2,3} wäre, dann wären immer A,B sowie B,A vorhanden {(1,1,(1,2),(1,3),(2,1),(2,2)(2,3),(3,1)...}
"4. Folgt aus A $ [mm] \subseteq [/mm] $ B und B $ [mm] \subseteq [/mm] $ C auch A $ [mm] \subseteq [/mm] $ C ? "
Nein, da wir nur 2 Elemente (A,B) haben?
Daher würde ich behaupten, dass die Relation antisymmetrisch ist.
Edit: Habe Folgendes gefunden "Alle Relationen auf einer zweielementigen Menge sind transitiv!". Wenn dem so ist, müsste es also auch transitiv sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Di 30.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Yaci,
> "1. Gilt A [mm]\subseteq[/mm] A für jedes A [mm]\in P(\IN)[/mm] ? "
>
> Ich würde nein sagen, da R aus dem Kartesischen Produkt
> von [mm]P(\IN[/mm] ) mit sich selbst entstanden ist. So können auch
> Mengen wie {(2,4)} entstehen.
In Freds Frage taucht nirgendwo ein kartesisches Produkt auf.
[mm] $\mathcal{P}(\IN)$ [/mm] enthält wohl die Menge [mm] $\{2,4\}$ [/mm] als Element, nicht jedoch die Menge [mm] $\{(2,4)\}$.
[/mm]
Im übrigen erfüllt die Menge [mm] $B:=\{(2,4)\}$ [/mm] die Aussage [mm] $B\subseteq [/mm] B$:
Zu zeigen ist dafür, dass für alle [mm] $x\in [/mm] B$ gilt: [mm] $x\in [/mm] B$. Das gilt trivialerweise.
> "3. Folgt aus A [mm]\subseteq[/mm] B und B [mm]\subseteq[/mm] A stets A=B ?
> "
>
> Ja, habe ich anhand von einem Beispiel getestet: wenn [mm]P(\IN[/mm]
> )={1,2,3} wäre,
Dann wären die Elemente [mm] $A,B\in\mathcal{P}(\IN)$ [/mm] gar keine Mengen und die Aussagen [mm] $A\subseteq [/mm] B$ und [mm] $B\subseteq [/mm] A$ sinnlos.
> "4. Folgt aus A [mm]\subseteq[/mm] B und B [mm]\subseteq[/mm] C auch A
> [mm]\subseteq[/mm] C ? "
>
> Nein, da wir nur 2 Elemente (A,B) haben?
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Fred meinte:
Gilt für alle [mm] $A,B,C\in\mathcal{P}(\IN)$ [/mm] folgendes? Aus A [mm]\subseteq[/mm] B und B [mm]\subseteq[/mm] C folgt auch A [mm]\subseteq[/mm] C.
> Daher würde ich behaupten, dass die Relation
> antisymmetrisch ist.
Bei 4. geht es um Transitivität, nicht um Antisymmetrie.
> Edit: Habe Folgendes gefunden "Alle Relationen auf einer
> zweielementigen Menge sind transitiv!". Wenn dem so ist,
> müsste es also auch transitiv sein?
R ist eine Relation auf [mm] $\mathcal{P}(\IN)$. [/mm] Und [mm] $\mathcal{P}(\IN)$ [/mm] ist nicht zweielementig.
Ich schlage folgende Vorübungen vor:
1. Nenne ein paar Elemente von [mm] $\mathcal{P}(\IN)$. [/mm] Darunter sollten endliche und unendliche Mengen sein.
2. Nenne ein paar Elemente (A,B) von [mm] $\mathcal{P}(\IN)\times\mathcal{P}(\IN)$. [/mm] Für welche dieser Elemente gilt [mm] $(A,B)\in [/mm] R$?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Do 01.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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