Potenzmengenbeweis < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Aquilera |
| Aufgabe | Für eine Menge m sei P(M) := {A | A [mm] \subset [/mm] M}. (Potenmenge von M)
Es gilt N [mm] \subset [/mm] M und
f: P(M) [mm] \rightarrow [/mm] P(M), A [mm] \rightarrow [/mm] f(A) := N [mm] \cap [/mm] A
Zeigen sie
1. f(P(M))=P(N)
2. f ist injektiv [mm] \gdw [/mm] N=M |
1. ist mir schon klar, meine Überlegung hierzu sind folgende
wenn N Teilmenge von M ist und ich die potenzmenge von M bilde, sind da unter Umständen auch Elemente von N dabei. Diese werden dann von f sozusagen "heraussortiert". Wenn keien dabei sind, liefert f die leere Menge. Und diese "heraussortierten" Teilmengen sind dann P(N), weil sie 1, 2,3, 4, etc Elemente enthalten, also immer genau die Teilmenge raussortieren, die elemente aus N enthält....
Mein Problem: wie schreib ich das mathematisch korrekt hin?
2. ist mir auch klar, wegen der gleichmächtigkeit von Mengen und der eigenschaften der abbilsungen von gleichmächtigen mengen. aber auch hier: wie schreib ichs mathematisch hin?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Mo 10.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Hier wurde diese Aufgabe übrigens schon einmal dsikutiert.
Gruß, Robert
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Für eine Menge m sei P(M) := {A | A [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M}. (Potenmenge
> von M)
> Es gilt N [mm]\subset[/mm] M und
> f: P(M) [mm]\rightarrow[/mm] P(M), A [mm]\rightarrow[/mm] f(A) := N [mm]\cap[/mm] A
>
> Zeigen sie
> 1. f(P(M))=P(N)
> 2. f ist injektiv [mm]\gdw[/mm] N=M
> Mein Problem: wie schreib ich das mathematisch korrekt
> hin?
Hallo,
indem Du ganz dicht an den Definitionen bleibst.
In 1. ist eine Mengengleichheit zu zeigen, also zweierlei
[mm] a)f(P(M))\subseteq [/mm] P(N)
b)P(N) [mm] \subseteq [/mm] f(P(M)).
Teilemngenbeziehungen zeigt man, indem man zeigt, daß jedes Element der einen auch in der anderen menge liegt.
Also ist zu zeigen
a) [mm] Y\in [/mm] f(P(M))==> [mm] Y\in [/mm] P(N)
b) [mm] Y\in [/mm] P(N) ==> [mm] Y\in [/mm] f(P(M)).
zu a)
Beweis:
Sei [mm] Y\in [/mm] f(P(M)) ==> es gibt eine Menge A [mm] \in [/mm] P(M) mit Y= ... und dann weiter.
>
> 2. ist mir auch klar, wegen der gleichmächtigkeit von
> Mengen und der eigenschaften der abbilsungen von
> gleichmächtigen mengen. aber auch hier: wie schreib ichs
> mathematisch hin?
Auch hier mit den Definitionen.
Wichtig ist, daß Dir klar ist, daß hier zwei Richtungen zu zeigen sind.
a) f injektiv ==> N=M
Hier würde ich mir erstmal anschauen, was f(N) ist und was f(M), dann die Injektivität verwenden.
b) N=M ==> f injektiv.
Schau Dir an, welche Funktion Du für N=M erhältst.
Gruß v. Angela
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