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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Mo 21.07.2014 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
es geht um die Konvergenz der Potenzreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2}{n^3+1}*(x-2)^n [/mm]
Den Konvergenzradius habe ich mit r = 1 bereits ermittelt, so dass die Reihe im Intervall (1,3) konvergent ist.
Die Frage ist nun, ob die Reihe auch für x = 1 und x = 3 konvergent ist.
Kann ich bei x = 1 das Leibniz-Kriterium anwenden (alternierende Reihe und [mm] \bruch{n^2}{n^3+1} [/mm] ist eine Nullfolge) so dass die Reihe für x = 1 konvergiert ?
Und wie sieht es bei x = 3 aus ?
Mit dem Quotientenkriterium komme ich nicht weiter.
Wenn der Term [mm] \bruch{n^2}{n^3-1} [/mm] heißen würde, könnte ich den Term durch [mm] \bruch{1}{n} [/mm] abschätzen, was auf Divergenz schließen würde.
Als Zusatzfrage bei der Reihe soll man für x = [mm] \bruch{9}{8} [/mm] den Wert der Reihe auf 3 Dezimalstellen exakt (ohne Hilfsmittel) berechnen.
Hierfür habe ich leider keine Idee.
Kann man hier jemand helfen ?
Danke und Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo,
> Hallo zusammen,
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> es geht um die Konvergenz der Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2}{n^3+1}*(x-2)^n[/mm]
>
> Den Konvergenzradius habe ich mit r = 1 bereits ermittelt,
> so dass die Reihe im Intervall (1,3) konvergent ist.
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die Frage ist nun, ob die Reihe auch für x = 1 und x = 3
> konvergent ist.
> Kann ich bei x = 1 das Leibniz-Kriterium anwenden
> (alternierende Reihe und [mm]\bruch{n^2}{n^3+1}[/mm] ist eine
> Nullfolge) so dass die Reihe für x = 1 konvergiert ?
Ja, genau so geht das.
>
> Und wie sieht es bei x = 3 aus ?
> Mit dem Quotientenkriterium komme ich nicht weiter.
> Wenn der Term [mm]\bruch{n^2}{n^3-1}[/mm] heißen würde, könnte
> ich den Term durch [mm]\bruch{1}{n}[/mm] abschätzen, was auf
> Divergenz schließen würde.
Mit der Divergenz bist du hier schon auf der richtigen Fährte. Es wäre doch bspw.
[mm] \bruch{n^2}{n^3+1}>\bruch{n^2}{n^3+n^3}=...
[/mm]
eine geeignete Minorante.
>
> Als Zusatzfrage bei der Reihe soll man für x =
> [mm]\bruch{9}{8}[/mm] den Wert der Reihe auf 3 Dezimalstellen exakt
> (ohne Hilfsmittel) berechnen.
> Hierfür habe ich leider keine Idee.
>
Da fällt mir jetzt spontan außer stumpfsinnigem Rechnen kein Trick ein, ich stelle daher auf 'teilweise beantwortet'.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Mo 21.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> es geht um die Konvergenz der Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2}{n^3+1}*(x-2)^n[/mm]
>
> Den Konvergenzradius habe ich mit r = 1 bereits ermittelt,
> so dass die Reihe im Intervall (1,3) konvergent ist.
>
> Die Frage ist nun, ob die Reihe auch für x = 1 und x = 3
> konvergent ist.
> Kann ich bei x = 1 das Leibniz-Kriterium anwenden
> (alternierende Reihe und [mm]\bruch{n^2}{n^3+1}[/mm] ist eine
> Nullfolge
....... einen monotone Nullfolge !)
> so dass die Reihe für x = 1 konvergiert ?
Ja
>
> Und wie sieht es bei x = 3 aus ?
> Mit dem Quotientenkriterium komme ich nicht weiter.
> Wenn der Term [mm]\bruch{n^2}{n^3-1}[/mm] heißen würde, könnte
> ich den Term durch [mm]\bruch{1}{n}[/mm] abschätzen, was auf
> Divergenz schließen würde.
Dazu hat Diophant schon das entscheidende gesagt.
>
> Als Zusatzfrage bei der Reihe soll man für x =
> [mm]\bruch{9}{8}[/mm] den Wert der Reihe auf 3 Dezimalstellen exakt
> (ohne Hilfsmittel) berechnen.
> Hierfür habe ich leider keine Idee.
Schreib mal die Reihe für [mm] x=\bruch{9}{8} [/mm] hin. Sie hat die Gestalt
(*) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n
[/mm]
mit [mm] a_n [/mm] >0 für alle n.
Das Leibnizkriterium liefert noch einen Zusatz, den Ihr sicher hattet:
Ist S der Wert der Reihe in (*) und ist [mm] S_k:=\summe_{n=1}^{k}(-1)^na_n, [/mm] so gilt:
[mm] $|S-S_k| \le a_{k+1}
[/mm]
FRED
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> Kann man hier jemand helfen ?
>
> Danke und Grüße
> Rubi
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mo 21.07.2014 | | Autor: | rubi |
Hallo FRED,
ist deine Antwort so zu verstehen, dass ich aufgrund der vorgegebenen Genauigkeit berechnen soll, für welchen Wert von k der Ausdruck [mm] a_{k+1} [/mm] <=0,0004 ist ?
Das geht vermutlich nur durch Ausprobieren, indem man einfach mal bestimmte Zahlen für k einsetzt, weil analytisch auflösbar nach k scheint dies nicht zu sein.
Sobald ich den Wert von k (durch Zufall ?) gefunden habe, müsste ich die Reihe bis zu diesem Wert von k aufsummieren, richtig ?
Den Wert von S der Reihe kenne ich ja nicht, oder gibt es eine Möglichkeit, diesen zu berechnen ?
Viele Grüße
Rubi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Mo 21.07.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo FRED,
>
> ist deine Antwort so zu verstehen, dass ich aufgrund der
> vorgegebenen Genauigkeit berechnen soll, für welchen Wert
> von k der Ausdruck [mm]a_{k+1}[/mm] <=0,0004 ist ?
Die Hälfte eines Tausendstels ist nicht 0,0004.
> Das geht vermutlich nur durch Ausprobieren, indem man
> einfach mal bestimmte Zahlen für k einsetzt, weil
> analytisch auflösbar nach k scheint dies nicht zu sein.
Ja, aber das kann man etwas zielgerichteter machen.
[mm] (7/8)^5 [/mm] ist ca. 0,5, und der Vorfaktor [mm] n^2/(n^3+1) [/mm] ist ca. 1/n.
Um auf 1/2000 zu kommen (was ca. 0,5^11 ist), bräuchte man ohne den Vorfaktor 1/n einen Exponenten von mindestens 55.
Dann wäre allerdings der Vorfaktor ca. 1/55 und damit das Ergebnis um etwa 5 Zweierpotenzen kleiner als nötig.
Aus diesem Grund würde ich den ersten Test mit n=30 starten und je nach Ergebnis etwas nachjustieren.
Gruß Abakus
> Sobald ich den Wert von k (durch Zufall ?) gefunden habe,
> müsste ich die Reihe bis zu diesem Wert von k
> aufsummieren, richtig ?
Ich kann mir nicht vorstellen, dass die Originalaufgabe dies konkret verlangt.
Solltet ihr vielleicht doch nur den Index des letzten erforderlichen Summanden ermitteln?
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> Den Wert von S der Reihe kenne ich ja nicht, oder gibt es
> eine Möglichkeit, diesen zu berechnen ?
>
> Viele Grüße
> Rubi
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