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Hallo!
Ich betrachte gerade noch einmal Potenzreihen. Dazu steht bei Wikipedia Folgendes:
>>In vielen Fällen kann der Konvergenzradius einfacher auf folgende Weise berechnet werden:
r = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|<<
[/mm]
Ferner steht da auch:
>>Jede Polynomfunktion lässt sich als Potenzreihe auffassen, wobei alle Koeffizienten an mit Ausnahme von endlich vielen gleich 0 sind.<<
Ich komme gerade nicht so richtig damit klar. Wenn ich eine Polynomfunktion habe, z. B. f(x) := [mm] 3x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] - [mm] 9x^2 [/mm] - x + 4, was ist denn da das x und was das [mm] x_0 [/mm] und könnt Ihr mir mal bitte vorrechnen, wie ich so einen Konvergenzradius am konkreten Beispiel berechne?
Danke,
Martin
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Hallo Martin,
gemeint ist damit, dass man jedes Polynom in eine Taylorreihe um [mm] x_0 [/mm] entwickeln kann, also ausdrücken kann als
[mm] $p(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{p^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$
[/mm]
Hierbei wird ab einem gewissen k die k-Ableitung des Polynoms immer Null, es sind also endlich viele Glieder der T-Reihe [mm] \ne [/mm] 0 und unendlich viele =0
Die Darstellung des Polynoms p als Taylorreihe entspricht der einer Potenzreihe
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:22 Mi 16.05.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Kannst du mal bitte ein Beispiel geben?
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> r = [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|<<[/mm]
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> Ferner steht da auch:
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> >>Jede Polynomfunktion lässt sich als Potenzreihe
> auffassen, wobei alle Koeffizienten an mit Ausnahme von
> endlich vielen gleich 0 sind.<<
>
> Ich komme gerade nicht so richtig damit klar. Wenn ich eine
> Polynomfunktion habe, z. B. f(x) := [mm]3x^4[/mm] + [mm]2x^3[/mm] - [mm]9x^2[/mm] - x
> + 4, was ist denn da das x und was das [mm]x_0[/mm] und könnt Ihr
> mir mal bitte vorrechnen, wie ich so einen Konvergenzradius
> am konkreten Beispiel berechne?
Hallo,
das x ist x und [mm] x_0=0.
[/mm]
Dein Polynom kannst Du so als Potenzreihe schreiben:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n
[/mm]
mit [mm] a_0:=0, a_1:=-1, a_2:=-9, a_3:=2, a_4:=3, a_n:=0 [/mm] für n>4.
Nun siehst Du auch, daß Du die von Dir angegebene einfache Formel für die Berechnung des Konvergenzradius nicht verwenden kannst, der Nenner wäre ja =0. (nicht -->0, sondern =0.)
Da mußt Du in den sauren Apfel beißen und Cauchy-Hardamard zur Hilfe nehmen:
r = [mm] \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{|a_n|})} =\infty
[/mm]
Was bringt das:
Du kannst ungestraft f(x)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] schreiben, denn die unendliche Reihe ist für jedes [mm] x\in \IR [/mm] =f(x).
Ich hoffe, daß das Deine Frage war.
Gruß v. Angela
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Es macht schon einiges klarer, ja, aber kannst du bitte auch mal ein Beispiel fuer eine Potenzreihe geben, bei dem die von mir angegebene Formel funktioniert. Ich meine, um den Nenner der Formel auf [mm] \not=0 [/mm] zu bekommen muesste ich ja unendlich viele [mm] a_n's [/mm] aufschreiben; verstehst du was ich meine?
Danke,
Martin
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Hallo Martin,
wie wäre es mit folgender Potenreihe:
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$
[/mm]
Müsste dir bekannt vorkommen 
oder [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{k^k}{k!}x^k$
[/mm]
LG
schachuzipus
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> Hallo Martin,
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> wie wäre es mit folgender Potenreihe:
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> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n[/mm]
Also, dann duerfte der Konvergenzradius folgendermassen zu berechnen sein:
[mm] |\bruch{\bruch{1}{n!}}{\bruch{1}{(n + 1)!}}| [/mm] = [mm] |\bruch{\bruch{1}{n!}}{\bruch{1}{n! * (n + 1)}}| [/mm] = [mm] |\bruch{\bruch{1}{n!}}{\bruch{1}{n! * (n + 1)}}| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{\bruch{1}{n + 1}}| \to \infty \Rightarrow [/mm] Die Reihe konvergiert fuer r [mm] \in \IR.
[/mm]
Ist das so korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Mi 16.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Martin
JA, und hast du sie auch wiedererkannt?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Mi 16.05.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Jepp ;)
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