Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Fr 22.06.2007 | | Autor: | clover84 |
| Aufgabe | geg: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}\cdot (x-1)^{n}
[/mm]
z.z.: Auf Konvergenz untersuchen |
Hallo Zusammen,
um die Potenzreihe auf Konvergenz zu untersuchen wende ich das Wurzelkriterium an. Mein Ansatz dazu lautet:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{|\bruch{1}{n}\cdot (x-1)^{n}|} [/mm] < 1 [mm] \gdw [/mm] |x-1| [mm] \cdot \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{|\bruch{1}{n}|} [/mm] < 1
[mm] \gdw [/mm] |x-1| [mm] \cdot \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{n}} [/mm] < 1
Ab da komm ich leider nicht mehr weiter.
Könnte mir bitte jemand dabei helfen.
Danke im voraus.
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> geg: [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}\cdot (x-1)^{n}[/mm]
>
> z.z.: Auf Konvergenz untersuchen
> Hallo Zusammen,
>
> um die Potenzreihe auf Konvergenz zu untersuchen wende ich
> das Wurzelkriterium an.
Was ist die Idee? Willst Du den Konvergenzradius: die Rede ist hier ja nicht einfach von einer Reihe sondern von einer Potenzreihe. In diesem Falle verwendet man, dass der Konvergenzradius einer Potenzreihe der Form [mm]\sum_{n=1}^\infty a_n (x-1)^n[/mm] gleich
[mm]R := \frac{1}{\limsup_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}[/mm]
ist. (Andererseits ist dies natürlich im Grunde das Wurzelkriterium.) In Deinem Falle wäre dies also
[mm]R := \frac{1}{\limsup_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{1}=1[/mm]
Somit konvergiert Deine Reihe für alle [mm]x\in \IR[/mm] (bzw. [mm]\in \IC[/mm]) mit [mm]|x-1|<1[/mm]. Das heisst, anschaulich, für alle [mm]x[/mm] die im Inneren eines Kreises (bzw. bei Einschränkung auf [mm]x\in\IR[/mm]: eines offenen Intervalls) mit Zentrum [mm]1[/mm] und Radius [mm]R=1[/mm] liegen.
Wie es um die Konvergenz der Reihe auf dem Rand dieses Kreises (bzw. in den Randpunkten des Intervalls [mm][0;2][/mm]) bestellt ist, musst Du auf anderem Wege herausfinden. (Für [mm]x=2[/mm] erhält man die bekanntlich divergente harmonische Reihe [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}[/mm]. Für [mm]x=0[/mm] erhält man die konvergente Reihe [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\cdot (-1)^n=-\ln 2[/mm].)
> Mein Ansatz dazu lautet:
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{|\bruch{1}{n}\cdot (x-1)^{n}|}[/mm]
> < 1 [mm]\gdw[/mm] |x-1| [mm]\cdot \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{|\bruch{1}{n}|}[/mm]
> < 1
> [mm]\gdw[/mm] |x-1| [mm]\cdot \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
> < 1
>
> Ab da komm ich leider nicht mehr weiter.
Um den Konvergenzradius zu bestimmen, betrachtet man nur den Limes Superior der Beträge der Koeffizienten (siehe oben). Den [mm](x-1)^n[/mm]-Term lässt man weg.
Aber was Du aus Deiner Rechnung schliessen kannst, ist dies: dass aus Deiner Gleichung:
[mm]\limsup_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\Big|\frac{1}{n}(x-1)^n\Big|} = |x-1|[/mm]
folgt, dass die Potenzreihe jedenfalls für [mm]|x-1| < 1[/mm] absolut konvergiert.
> Könnte mir bitte jemand dabei helfen.
>
> Danke im voraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Fr 22.06.2007 | | Autor: | clover84 |
Hallo,
heißt das, dass wenn ich eine Potenzreihe auf Konvergenz untersuche, nicht das Wurzel- oder Quotientenkriterium anwende, sondern die Gleichung bzgl. des Radius??
Ich komm leider mit Potnezreihen nicht ganz klar, deshalb meine "blöde" Frage.
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> Hallo,
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> heißt das, dass wenn ich eine Potenzreihe auf Konvergenz
> untersuche, nicht das Wurzel- oder Quotientenkriterium
> anwende, sondern die Gleichung bzgl. des Radius??
>
> Ich komm leider mit Potnezreihen nicht ganz klar, deshalb
> meine "blöde" Frage.
Du kannst, wie ich in meiner ersten Antwort geschrieben habe, durchaus das Wurzelkriterium anwenden. Das Wurzelkriterium beruht einfach darauf, dass, falls die [mm]n[/mm]-te Wurzeln Beträge der [mm]n[/mm]-ten Glieder ab einem gewissen Index [mm]n_0[/mm] ein [mm]q<1[/mm] existiert, so dass deren Beträge [mm]|a_n| \leq q[/mm] (für [mm]n\geq n_0[/mm]) sind, die Reihe [mm]\sum_{n=1}^\infty a_n[/mm] (absolut) konvergiert. Denn in diesem Falle besitzt ihr Reststück [mm]\sum_{n=n_0}^\infty a_n[/mm] das Reststück der geometrischen Reihe [mm]\sum_{n=n_0}^\infty q^n[/mm] als konvergente Majorante (siehe: "Majorantenkriterium").
Du hast nun also mit dem Wurzelkriterium gezeigt, dass [mm]\limsup_{n\rightarrow}\sqrt[n]{\Big|\frac{1}{n}(x-1)^n\Big|} = |x-1|[/mm] ist. Dies bedeutet, dass, nach dem Wurzelkriterium, Deine (Potenz-)Reihe für alle [mm]x[/mm] mit [mm]|x-1|<1[/mm] konvergiert. (Denn [mm]q := |x-1|[/mm] ist in diesem Falle eben jenes [mm]q < 1[/mm], das uns die gewünschte konvergente Majorante für die Reststücke der Potenzreihe ab einem gewissen [mm]n_0[/mm] liefert.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:06 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Somebody |
Ich habe geschrieben:
> Du hast nun also mit dem Wurzelkriterium gezeigt, dass
> [mm]\limsup_{n\rightarrow}\sqrt[n]{\Big|\frac{1}{n}(x-1)^n\Big|} = |x-1|[/mm]
> ist. Dies bedeutet, dass, nach dem Wurzelkriterium, Deine
> (Potenz-)Reihe für alle [mm]x[/mm] mit [mm]|x-1|<1[/mm] konvergiert. (Denn [mm]q := |x-1|[/mm]
> ist in diesem Falle eben jenes [mm]q < 1[/mm], das uns die
> gewünschte konvergente Majorante für die Reststücke der
> Potenzreihe ab einem gewissen [mm]n_0[/mm] liefert.)
Aber dies hier war falsch. Ich hätte z.B. schreiben sollen: "Denn [mm]q := \frac{|x-1|+1}{2}[/mm] ist in diesem Falle eben jenes [mm]q < 1[/mm], das uns die gewünschte konvergente Majorante für die Reststücke der Potenzreihe ab einem gewissen [mm]n_0[/mm] liefert."
Das so gewählte [mm]q[/mm] ist dann noch immer [mm]<1[/mm], sofern [mm]|x-1|< 1[/mm] ist, aber grösser als [mm]|x-1|[/mm] d.h. grösser als [mm]\limsup_{n\rightarrow}\sqrt[n]{\Big|\frac{1}{n}(x-1)^n\Big|}[/mm].
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