Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Di 12.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich habe eine komplexe Potenzreihe [mm] $f(z):=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ [/mm] vorliegen. Weiter weiss ich, dass diese Reihe fuer [mm] $z\in]-\delta,\delta[$ [/mm] (also $z$ auf der reellen Achse) reellwertig ist, d.h. [mm] $\mathrm{Im}(f(z))=0$ $\forall\,z\in]-\delta,\delta[$, [/mm] bzw. [mm] $f(z)\in\IR$ $\forall\,z\in]-\delta,\delta[$. [/mm] Ich soll nun zeigen, dass
[mm] $a_n\in\IR$ $\forall\,n\in\IN$
[/mm]
gilt. Wenn ich also zeige, dass
[mm] $f^{(n)}(0)\in\IR$ $\forall\,n\in\IN$
[/mm]
gilt, bin ich fertig. Wie komme ich nochmal genau darauf? Ist vermutlich nur ein Einzeiler.
Danke und Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Di 12.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] $a_n [/mm] = [mm] b_n [/mm] +i [mm] c_n$ [/mm] mit [mm] b_n, c_n \in \IR
[/mm]
Für $ [mm] x\in]-\delta,\delta[ [/mm] $ ist nach Vor.
$f(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_nx^n [/mm] + i [mm] (\summe_{n=0}^{\infty}c_nx^n) \in \IR$.
[/mm]
Somit ist
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}c_nx^n= [/mm] 0 $ für jedes $ [mm] x\in]-\delta,\delta[ [/mm] $
Der Identitätssatz für Potenzreihen sagt nun: [mm] c_n [/mm] = 0 für jedes n [mm] \ge [/mm] 0.
Fazit: [mm] a_n [/mm] = [mm] b_n \in \IR [/mm] jedes n [mm] \ge [/mm] 0
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Di 12.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Super! Vielen Dank!
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