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Potenzreihe: Konvergenzradius, -Bereich
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 Fr 12.03.2010
Autor: Die_Tuete1

Aufgabe
Untersuchen Sie mit Hilfe eines geeigneten Kriteriums die Konvergenz folgender Potenzreihe
[mm] 1-4x+7x^2-10x^3\pm [/mm] ...
und geben sie den zugehörigen Konvergenzbereich an.

Das Ergebnis lautet:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n(3n+1)x^n [/mm]

Meine Frage:
Gibt es eine allgemeine Möglichkeit, die ausgeschriebene Form in die gekürzte Form zu bringen, oder muss man da rumraten??? Is in ner Klausur natürlich sehr blöd, schöner wäre da eine allgemeingültige Formel!


Gehört auch noch zur Aufgabe:
1) Konvergenzradius: r = 1

Mein Lösungsansatz:
[mm] a_n [/mm] = (3n+1)
Quotientenkriterium:
r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_n_-_1}| [/mm]
  = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{3n+1}{3(n+1)+1}| [/mm]
dann einfach verschiedene Werte eingesetzt: n=5, n=10, n=100 usw.! Man sieht dass sich r immer mehr 1 nähert!
folglich r=1

2) Konvergenzbereich:

Beim Konvergenzbereich hab ich keine Ahnung wie man das machen soll!??!

Lösung: -1 < x < 1



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Potenzreihe: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:53 Fr 12.03.2010
Autor: Loddar

Hallo die_Tuete1!


> Das Ergebnis lautet:
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n(3n+1)x^n[/mm]
>  
> Meine Frage:
> Gibt es eine allgemeine Möglichkeit, die ausgeschriebene
> Form in die gekürzte Form zu bringen, oder muss man da
> rumraten??? Is in ner Klausur natürlich sehr blöd,
> schöner wäre da eine allgemeingültige Formel!

Eine derartige allgemeine Formel gibt es nicht. Hier muss man schon "sehen", dass die Koeffizienten immer (betragsmäßig) um 3 größer werden.


> Gehört auch noch zur Aufgabe:
> 1) Konvergenzradius: r = 1
>  
> Mein Lösungsansatz:
> [mm]a_n[/mm] = (3n+1)
> Quotientenkriterium:
> r = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_n_-_1}|[/mm]
>    = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{3n+1}{3(n+1)+1}|[/mm]

[ok]


> dann einfach verschiedene Werte eingesetzt: n=5, n=10,
> n=100 usw.! Man sieht dass sich r immer mehr 1 nähert!

Du solltest auch andere Methoden kennen, als nur das Einsetzen großer Zahlen.


> folglich r=1

[ok]

  

> 2) Konvergenzbereich:
>  
> Beim Konvergenzbereich hab ich keine Ahnung wie man das
> machen soll!??!
>  
> Lösung: -1 < x < 1

Oben hast Du doch ermittelt, dass der Konvergenzradius $r \ = \ 1$ ergibt. Dies bedeutet, dass die Reihe automatisch für x-Werte $-1 \ < \ x \ < \ +1$ konvergiert.

Separat betrachten musst Du nun noch $x \ = \ [mm] \pm [/mm] r \ = \ [mm] \pm [/mm] 1$ .


Gruß
Loddar


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