Potenzreihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich hätte mal eine Frage:
Man entwickle folgende Funktionen nach Potenzen von [mm] (x-x_{0}) [/mm] u bestimme zugehöriges Konvergenzintervall.
Folgende Aufgabe habe ich komplett verstanden:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Leider hakt es aber bei dieser Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Könnte mir jmd. mal die einzelnen Schritte erläutern?
Ich weiß auch nicht, wie ich diese binomische Reihe zu lesen oder zu deuten hab (der Ausdruck nach dem Summenzeichen)?
Schon der erste Schritt ist unklar. Ich hätte da geschrieben:
[mm] (x-1)^{3/2} [/mm] und nicht [mm] (1+(x-1))^{3/2}
[/mm]
Könnte das jmd. mal erläutern? Vielleicht gibts ja Parallelen zu der ersten Aufgabe...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Mo 16.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Leider hakt es aber bei dieser Aufgabe:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Könnte mir jmd. mal die einzelnen Schritte erläutern?
> Ich weiß auch nicht, wie ich diese binomische Reihe zu
> lesen oder zu deuten hab (der Ausdruck nach dem
> Summenzeichen)?
> Schon der erste Schritt ist unklar. Ich hätte da
> geschrieben:
> [mm](x-1)^{3/2}[/mm] und nicht [mm](1+(x-1))^{3/2}[/mm]
1. du willst doch die Funktiom [mm] f(x)=x^{3/2} [/mm] um x= 1 entwickeln. d,dh es soll eine Potenzreihe mit Potenzen von (x-1) entstehen: deshalb schribst du x=1+(x-1) =1+z Und jetzt kennt man schon die Potenzreihe von [mm] (1+z)^{\bruch{3}{2}} [/mm] als eine Art binomische Reihe. Dabei ist dir in der nächsten Zeile erklärt wie [mm] \vektor{\bruch|3{|2} \\ k} [/mm] definiert ist.
und da für k>2 das letzte Glied immer negativ ist hat man eine Reihe mit alternierenden Vorzeichen, also Leibniz. also braucht man nur noch [mm] a_{k}
Wenn0< x<1 ist alterniert (x-1)^_{k} und die Koeffizienten, man muss zeigen dass sie für gerade k neg.sind. für 1<x<2 alternieren nur die Koeffizienten. drum müssen die 2 Fälle getrennt behandelt werden. Das sind die letzten 2 Zeilen
> Könnte das jmd. mal erläutern? Vielleicht gibts ja
> Parallelen zu der ersten Aufgabe...
Nur dass man f(x) geschickt auf etwas mit [mm] x+\bruch{\pi}{3} [/mm] umformt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Maiko |
< 1. du willst doch die Funktiom $ [mm] f(x)=x^{3/2} [/mm] $ um x= 1 entwickeln. d,dh es
< soll eine Potenzreihe mit Potenzen von (x-1) entstehen: deshalb schribst du
< x=1+(x-1) =1+z Und jetzt kennt man schon die Potenzreihe von $
< [mm] (1+z)^{\bruch{3}{2}} [/mm] $ als eine Art binomische Reihe.
Bis hier hin ist fast alles klar. Nur eine Frage hätte ich:
Ich habe ja die Beispielaufgabe, die ich vollständig verstanden hatte, hier mit rein gestellt. Dort wurde das x des Sinuses einfach durch [mm] (x-x_{0}) [/mm] ersetzt und dann [mm] x_{0} [/mm] eingesetzt. Ich dachte, dass müsste ich hier ebenfalls so tun. Der Summand "1" + z verwirrt mich da. OK, du sagtest, es wird um x=1 entwickelt. In der ersten Aufgabe wurde ja aber auch nicht geschrieben [mm] sin(3*(-\pi/3 [/mm] + [mm] (x+\pi/3)). [/mm] Verstehst du, was ich meine ?
< Dabei ist dir in der nächsten Zeile erklärt wie $ [mm] \vektor{\bruch|3{|2} \\
< k} [/mm] $ definiert ist. und da für k>2 das letzte Glied immer negativ ist hat
< man eine Reihe mit alternierenden Vorzeichen, also Leibniz. also braucht
< man nur noch $ [mm] a_{k}
< Wenn0< x<1 ist alterniert (x-1)^_{k} und die Koeffizienten, man muss
< zeigen dass sie für gerade k neg.sind. für 1<x<2 alternieren nur die
< Koeffizienten. drum müssen die 2 Fälle getrennt behandelt werden. Das
< sind die letzten 2 Zeilen
Bevor ich das verstehe, sollte ich wahrscheinlich nochmal fragen, wie folgende Zeile zustande kommt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Maiko,
> Bevor ich das verstehe, sollte ich wahrscheinlich nochmal
> fragen, wie folgende Zeile zustande kommt:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Die Zeile kommt so zustande:
[mm]\begin{array}{l}
\left( {z\; + \;1} \right)^{\frac{3}{2}} \; = \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {\begin{array}{*{20}c}
{\frac{3}{2}} \\
k \\
\end{array}} \right)\;z^k } = \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {\prod\limits_{l = 1}^k {\frac{{\left( {\frac{5}{2}\; - \;l} \right)}}{l}} } \right)\;z^{k} } \\
= \;1\; + \;\frac{3}{2}\;z\; + \;\frac{3}{2}\;\frac{1}{2}\;z^{2} \; + \;\frac{3}{2}\;\frac{1}{2}\;\left( { - \frac{1}{2}} \right)z^{3} \; + \;\frac{3}{2}\;\frac{1}{2}\;\left( { - \frac{1}{2}} \right)\;\left( { - \frac{3}{2}} \right)\;z^{4} \; + \; \ldots \\
\end{array}[/mm]
[mm]\left( {z\; + \;1} \right)^{\frac{3}{2}} [/mm] wird also in eine binomische Reihe entwickelt.
Gruß
MathePower
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