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Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 Mi 27.04.2011
Autor: MatheStein

Aufgabe
Gesucht ist der Konvergenzradius folgender Potenzreihe:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}3^n z^{2n} [/mm]

Hey Leute,

da man Hadamard nicht direkt anwenden kann, habe ich mir die Herleitung der Formel angeguckt und das obige dann analog zum klassichen Fall zu folgendem umgeformt:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}3^n z^{2n} [/mm] konvergiert falls,

[mm] limsup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|3^n z^{2n}|}<1 [/mm] <=>

[mm] |z^2|*lim sup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|3^n|}<1 [/mm]   <=>

[mm] |z^2|<\bruch1{lim sup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|3^n|}} [/mm]

[mm] |z^2|<\bruch1{3} [/mm]

Kann dies jemand bestätigen?

Falls ja, wie erhalte ich weiter den Konvergenzradius?
Bin nur auf folgendes gekommen:

[mm] |z^2|<\bruch1{3}<=> [/mm]

[mm] |z|*|z|<\bruch1{3} [/mm] <=>

[mm] |z|<\bruch1{3*|z|} [/mm]

In der Form darf man den Konvergenzradius aber nicht angeben oder? Die Rechte-Seite ist ja in diesem Fall ja keine Konstanten und von z abhängig.

Kann mir evtl. jemand weiterhelfen?

Gruß :-)

        
Bezug
Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Mi 27.04.2011
Autor: schachuzipus

Hallo MatheStein,

> Gesucht ist der Konvergenzradius folgender Potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}3^n z^{2n}[/mm]
> Hey Leute,
>
> da man Hadamard nicht direkt anwenden kann,

Substituiere [mm]y=z^2[/mm], dann geht's direkt mit Cauchy-Hadamard!

> habe ich mir
> die Herleitung der Formel angeguckt und das obige dann
> analog zum klassichen Fall zu folgendem umgeformt:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}3^n z^{2n}[/mm] konvergiert falls,
>
> [mm]limsup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|3^n z^{2n}|}<1[/mm] <=>
>
> [mm]|z^2|*lim sup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|3^n|}<1[/mm] <=>
>
> [mm]|z^2|<\bruch1{lim sup_{n\to\infty}\wurzel[n]{|3^n|}}[/mm]
>
> [mm]|z^2|<\bruch1{3}[/mm] [ok]
>
> Kann dies jemand bestätigen?

Ja, ich!

> Falls ja, wie erhalte ich weiter den Konvergenzradius?
> Bin nur auf folgendes gekommen:
>
> [mm]|z^2|<\bruch1{3}<=>[/mm]
>
> [mm]|z|*|z|<\bruch1{3}[/mm] <=>
>
> [mm]|z|<\bruch1{3*|z|}[/mm]
>
> In der Form darf man den Konvergenzradius aber nicht
> angeben oder? Die Rechte-Seite ist ja in diesem Fall ja
> keine Konstanten und von z abhängig.

Ja, das ist Murks, es ist doch [mm]\left|z^2\right|=|z|^2[/mm]

Also Konvergenz für [mm]\left|z^2\right|=|z|^2<\frac{1}{3}[/mm]

Also [mm]|z|<\frac{1}{\sqrt{3}}[/mm]

Also ist der Konvergenzradius [mm]\rho=\frac{1}{\sqrt{3}}[/mm]

>
> Kann mir evtl. jemand weiterhelfen?
>
> Gruß :-)

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Potenzreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:15 Mi 27.04.2011
Autor: MatheStein

Besten Dank :-)

Bezug
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