Potenzreihe - Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich möchte u.a. den Konvergenzradius der Potenzreihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(n+2)^n}{2^n} (x-2)^n
[/mm]
bestimmen.
Also handelt es sich um
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n
[/mm]
mit a=3 [mm] a_0=0 [/mm] und [mm] a_n=\bruch{(n+2)^n}{2^n}
[/mm]
für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
Für jedes [mm] n\in \IN [/mm] gilt
[mm] |\bruch{a_n}{a_{n+1}}|=\bruch{(n+2)^n*2^{n+1}}{2^n*(x+2)^{n+1}}=\bruch{2^{n+1}}{2^n*(x+2)}=\bruch{2^n}{x+2}
[/mm]
Mache ich das soweit überhaupt richtig?
Danke,
Anna
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Hallo schachuzipus,
DANKE für Deine Antwort. Also ich hatte mich da gerade verschrieben (a=3 statt
a=2) aber trotzdem..ich beginne noch einmal:
Also es handelt sich um
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n[/mm] mit a=2 und
[mm]a_n=\bruch{(n+2)^n}{2^n}[/mm]
für alle [mm]n\in \IN^0[/mm].
Es gilt
[mm] \wurzel[n]{|a|} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\bruch{(n+2)^n}{2^n}}=\bruch{\wurzel[n]{n+2)^n}}{\wurzel[n]{2^n}}=\bruch{(n+2)}{2}
[/mm]
Also ist
$ [mm] \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{(n+2)^n}{2^n}\right|} [/mm] $ = [mm] \infty
[/mm]
und der Konvergenzradius r = 0.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Gruß,
Anna
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Hallo schachuzipus,
suuuper  DANKE!
Vielleicht noch einmal zur Übung:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{5^n}{(n+5)^n}(x+5)^n
[/mm]
Also wieder
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n
[/mm]
mit a=-5 und [mm] a_n=\bruch{5^n}{(n+5)^n} [/mm] für alle [mm] n\in \IN^0
[/mm]
Für jedes [mm] n\in \IN^0 [/mm] gilt
[mm] \wurzel[n]{|a_n|}=\wurzel[n]{\bruch{5^n}{(n+5)^n}}=\bruch{5}{n+5}=\bruch{1}{n+1} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Also ist der Konvergenzradius r = [mm] \infty, [/mm] was heißt, dass die Potenzreihe für
jedes x [mm] \in \IR [/mm] konvergent ist.
Ich bin gespannt, ob ich das korrekt gelöst habe ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Danke,
Anna
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
> > > Ich bin gespannt, ob ich das korrekt gelöst habe
> >
> > Jo, bis auf die eine mysteriöse Umformung 
>
> Uh, peinlich Scheint heute nicht so mein Tag zu sein.
> Aber mysteriös ist nett gesagt ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Fand ich auch passend
>
> Andere Frage. Wenn ich die Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{11}} (x-11)^n[/mm] habe.
> Dann ist ja a=11 und [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{n^{11}}[/mm]
> D.h. der Konvergenzradius ist 1? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und das heißt, dass die Potenzreihe für x=10 konvergiert? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Oder habe ich da schon wieder einen Denkfehler?
die Potenzreihe konvergiert doch nach C-H für $|x-a|<r$, also hier für $|x-11|<1$, dh. also explizit für welche [mm] $x\in\IR$ [/mm] ?
Und sie divergiert für [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit $|x-11|>1$
Wenn du prüfen willst, ob die Potenzreihe denn auch auf dem Rand des Konvergenzgebietes (bzw. -intervalls), also für $|x-11|=1$, also für $x=10$ bzw. $x=12$ konvergiert, musst du diese speziellen Werte in die Reihe einsetzen und es mit den "üblichen" Kriterien anschauen.
Aber wenn die Frage ausschließlich den Konvergenzradius sucht, dann brauchst du das natürlich nicht zu machen
>
> Danke,
> Anna
Jo,
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
VIELEN DANK für's auf die Sprünge helfen!
Natürlich müsste ich bei einer Frage nach dem Konvergenzradius
nicht so weit gehen, aber ich möchte das trotzdem mal untersuchen/üben.
Also, jetzt aber:
Konvergenzradius ist 1.
Das heißt, die Potenzreihe ist konvergent für
|x-11|<1 , also 10<x<12 und divergent für
|x-11|>1 , also x < 10 oder x > 12
Jetzt noch die Randpunkte 10 und 12:
Für x=10 ergibt sich die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{11}}(-1)^n
[/mm]
Also ist diese Reihe nach dem Leibniz-Kriterium
konvergent.
Für x=12 ergibt sich die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{11}}
[/mm]
(=harmonische Reihe?) und somit divergent.
Ist das so korrekt?
Danke,
Anna
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Hallo ein letztes Mal (für heute zumindest )
> Hallo schachuzipus,
>
> VIELEN DANK für's auf die Sprünge helfen!
> Natürlich müsste ich bei einer Frage nach dem
> Konvergenzradius
> nicht so weit gehen, aber ich möchte das trotzdem mal
> untersuchen/üben.
> Also, jetzt aber:
>
> Konvergenzradius ist 1.
> Das heißt, die Potenzreihe ist konvergent für
> |x-11|<1 , also 10<x<12 und divergent für
> |x-11|>1 , also x < 10 oder x > 12
>
> Jetzt noch die Randpunkte 10 und 12:
> Für x=10 ergibt sich die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{11}}(-1)^n[/mm]
> Also ist diese Reihe nach dem Leibniz-Kriterium
> konvergent.
> Für x=12 ergibt sich die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{11}}[/mm]
> (=harmonische Reihe?) und somit divergent.
Puh, fast alles sehr gut und richtig.
Die Reihen [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ [/mm] konvergieren für $s>1$ und divergieren für [mm] $s\le [/mm] 1$ [mm] ($s\in\IQ$)
[/mm]
(Beweis zB. im Königsberger über die Partialsummen)
Die harmonische Reihe ist also quasi die "Grenzreihe" zwischen den konvergenten und divergenten Reihen dieses Typs
Stichwort: Riemannsche Zetafunktion [mm] $\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ [/mm] für $s>1$
>
> Ist das so korrekt?
Ja, fast alles, wir haben also alles in allem Konvergenz für [mm] $x\in[10,12]$ [/mm] und Divergenz für [mm] $x\in\IR\setminus[10,12]$
[/mm]
>
> Danke,
> Anna
Bis dann und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:00 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo schachuzipus,
> Puh, fast alles sehr gut und richtig.
Aber auch nur fast :-(
> Die Reihen [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}[/mm]
> konvergieren für [mm]s>1[/mm] und divergieren für [mm]s\le 1[/mm] ([mm]s\in\IQ[/mm])
>
> (Beweis zB. im Königsberger über die Partialsummen)
>
> Die harmonische Reihe ist also quasi die "Grenzreihe"
> zwischen den konvergenten und divergenten Reihen dieses
> Typs
Ah OK. Werde mir das noch mal anschauen/durch den Kopf gehen lassen.
> Stichwort: Riemannsche Zetafunktion
> [mm]\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}[/mm] für [mm]s>1[/mm]
Das sagt mir (noch) nichts.
> > Ist das so korrekt?
>
> Ja, fast alles, wir haben also alles in allem Konvergenz
> für [mm]x\in[10,12][/mm] und Divergenz für [mm]x\in\IR\setminus[10,12][/mm]
Genau Ich danke Dir für Deine Hilfe und wünsche Dir eine GUTE NACHT!
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Reihen [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}[/mm]
> konvergieren für [mm]s>1[/mm] und divergieren für [mm]s\le 1[/mm] ([mm]s\in\IQ[/mm])
>
> (Beweis zB. im Königsberger über die Partialsummen)
nur eine Anmerkung dazu:
Dies gilt auch, wenn man $s [mm] \in \IQ$ [/mm] durch $s [mm] \in \IR$ [/mm] ersetzt. Zudem ist der Beweis dazu auch ziemlich einfach, wenn man den Cauchyschen Verdichtungssatz ins Spiel bringt, denn demzufolge:
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
[mm] $\gdw \sum\limits_{n=1}^{\infty}2^n\frac{1}{(2^n)^s} [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
[mm] $\gdw \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left[\left(\frac{1}{2}\right)^{s-1}\right]^n [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
Im Falle $s [mm] \le [/mm] 1$ ist [mm] $\left(\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{s-1}\right]^n\right)_{n \in \IN}$ [/mm] keine Nullfolge, im Falle $s > 1$ ist $0 [mm] \le \left(\frac{1}{2}\right)^{s-1} [/mm] < 1$, was die Konvergenz der letzten Reihe liefert (geometrische Reihe).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Marcel,
auch oder gerade weil mir der Cauchyschen Verdichtungssatz (noch) nichts
gesagt hat(te), so danke ich Dir für diesen Hinweis.
Gruß,
Anna
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Hallo,
hier bin ich mir nicht ganz sicher:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{5^n}{n+1}(x+7)^n
[/mm]
d.h.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n
[/mm]
a=-7
Der Konvergenzradius ist [mm] \bruch{1}{5}.
[/mm]
Das heißt, die Potenzreihe ist konvergent für
[mm] |x+7|<\bruch{1}{5}, [/mm] also [mm] \bruch{34}{5} [/mm] < x < [mm] \bruch{36}{5}
[/mm]
und divergent für
[mm] |x+7|>\bruch{1}{5}, [/mm] also [mm] x<\bruch{34}{5} [/mm] oder [mm] x>\bruch{36}{5}
[/mm]
Hier bin ich mir nun nicht so sicher, stimmt das? (Randpunkte
lasse ich jetzt noch mal weg)
Danke,
Anna
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Mo 16.06.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Marcel,
> Bis auf den Umformungsfehler stimmt das. Du musst halt
> beachten:
>
> [mm]|x-x_0| < \varepsilon[/mm]
>
> [mm]\gdw -\varepsilon + x_0< x < \varepsilon+x_0[/mm]
>
> Bei Dir ist oben [mm]\varepsilon=\frac{1}{5}[/mm] und
> [mm]x_0=\;\blue{-}\;7[/mm]
ich habe geahnt, dass ich da was verdreht hatte.
Vielen DANK für Deine Antwort!!!
Gruß,
Anna
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:44 Di 17.06.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anna,
> Hallo Marcel,
>
> > Bis auf den Umformungsfehler stimmt das. Du musst halt
> > beachten:
> >
> > [mm]|x-x_0| < \varepsilon[/mm]
> >
> > [mm]\gdw -\varepsilon + x_0< x < \varepsilon+x_0[/mm]
> >
> > Bei Dir ist oben [mm]\varepsilon=\frac{1}{5}[/mm] und
> > [mm]x_0=\;\blue{-}\;7[/mm]
>
> ich habe geahnt, dass ich da was verdreht hatte.
Kein Ding, kann schonmal passieren.
> Vielen DANK für Deine Antwort!!!
Ist gerne geschehen
Gruß,
Marcel
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
eher a=2, oder? [mm]a_0=0[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
