Potenzreihe, Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei R > 0 der Konvergenzradius der Potenzreihe.
Behauptung: Die Reihe [mm] \sum_{k=0}^{\infty} c_k R^k [/mm] konvergiert genau dann, wenn die Reihe [mm] \sum_{k=0}^{\infty} c_k (-R)^k [/mm] konvergiert.
Begründen Sie ob die obige Aussage wahr oder falsch ist. |
Hallo!
Ich denke die Aussage ist wahr, denn in der Berechnung des Konvergenzradius spielt ja nur [mm] c_k [/mm] eine Rolle und daher ergibt sich meiner Meinung nach derselbe Konvergenzradius.
Ist die Begründung so in Ordnung?
Lieben Gruß, Wiebke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Fr 14.05.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo Wiebke,
wenn du den Konvergenzradius einer Reihe berechnet hast, weißt du dass sie im Inneren des Konvergenzkreises konvergiert und außerhalb divergiert. Auf dem Rand kann alles Mögliche passieren!
Wie sieht es z.B. mit der Reihe $ [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k} x^k [/mm] $ aus? Was ist ihr Konvergenzradius? Findest du einen Punkt auf den Rand des Konvergenzkreises, in dem die Reihe konvergiert bzw. divergiert?
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:30 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Wiebke,
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> wenn du den Konvergenzradius einer Reihe berechnet hast,
> weißt du dass sie im Inneren des Konvergenzkreises
> konvergiert und außerhalb divergiert. Auf dem Rand kann
> alles Mögliche passieren!
> Wie sieht es z.B. mit der Reihe [mm]\sum^\infty_{\red{k=0}} \frac{1}{k} x^k[/mm]
> aus?
[mm] $$\sum_{\red{k=1}}...$$
[/mm]
@ Wiebke: Betrachte also z.B. die Potenzreihe
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty c_k x^k$$
[/mm]
mit [mm] $c_0:=0\,,$ $c_k=1/k$ [/mm] ($k [mm] \in \IN_{\ge 1}$).
[/mm]
Berechne nun den Konvergenzradius zu [mm] $R=1\,$.
[/mm]
(Kannst Du die Rechnung vorführen?)
Nun die Überlegung, auf die zahllos hinaus will:
Frage:
Gilt nun, dass
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}*1^k=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$$
[/mm]
genau dann konvergiert, wenn
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty (-1)^k*\frac{1}{k}$$
[/mm]
konvergiert?
Du weißt sicher, ob [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] konvergent oder (bestimmt) divergent ist und überlege Dir z.B. mit Leibniz, ob [mm] $\sum_{k=1}^\infty (-1)^k*\frac{1}{k}$ [/mm] konvergiert.
Was sagt das z.B. über die Richtigkeit der Folgerung
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty (-1)^k*\frac{1}{k} \text{ konvergiert }\Rightarrow \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \text{ konvergiert}$$
[/mm]
aus? Kann diese richtig sein?
Beste Grüße,
Marcel
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Also ich würde den Konvergenzradius von [mm] \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k}x^k [/mm] folgendermaßen berechnen:
[mm] \limsup_{k \to \infty} \wurzel[k]{\frac{1}{k}}
[/mm]
[mm] =\limsup_{k \to \infty} \frac{\wurzel[k]{1}}{\wurzel[k]{k}} [/mm] (hierfür sind mir Sätze bekannt)
= [mm] \limsup_{k \to \infty} \frac{1}{1}
[/mm]
R=1
Das heißt, die Reihe konvergiert für |X|<R. Setzt man jedoch 1 ein, so liegt dies auf dem Rand und damit ist zunächst nichts über die Konvergenz gezeigt.
Stimmt das soweit?
Aber mir ist natürlich bekannt, dass die Reihe dann divergiert, jedoch konvergiert, wenn sie zusätzlich alternierend ist.
Damit habe ich ja jetzt ein Gegenbeispiel und kann die Aussage begründet verneinen.
Danke! Lieben Gruß, Wiebke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also ich würde den Konvergenzradius von
> [mm]\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k}x^k[/mm] folgendermaßen berechnen:
>
> [mm]\limsup_{k \to \infty} \wurzel[k]{\frac{1}{k}}[/mm]
> [mm]=\limsup_{k \to \infty} \frac{\wurzel[k]{1}}{\wurzel[k]{k}}[/mm]
> (hierfür sind mir Sätze bekannt)
> = [mm]\limsup_{k \to \infty} \frac{1}{1}[/mm]
> R=1
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob Du einen (nicht selten passierenden) Schnitzer [mm] $R=\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|c_k|}$ [/mm] gemacht hast. Falls ja, dann bitte VORSICHT!, denn
[mm] $$\red{R=\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|c_k|}}$$
[/mm]
ist falsch.
Genauer sollte da stehen:
[mm] $$R=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|c_k|}}=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{\frac{1}{k}}}\,.$$
[/mm]
Aber wie ich oben gesehen habe, weißt Du auch hier, wie es weiter geht. Bzw. wenn Du oben meintest:
[mm] $$\limsup_{k \to \infty} \wurzel[k]{\frac{1}{k}}=\blue{1}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow R=\frac{1}{\blue{1}}=1\,,$$
[/mm]
dann war es eh okay.
> Das heißt, die Reihe konvergiert für |X|<R. Setzt man
> jedoch 1 ein, so liegt dies auf dem Rand und damit ist
> zunächst nichts über die Konvergenz gezeigt.
Anstatt "ist zunächst nichts über die Konvergenz gezeigt." würde ich eher sagen, dass man daher dort i.a. keine Aussage über das Konvergenzverhalten der (Potenz-)Reihe treffen kann. Aber Du meinst das richtige, also:
> Stimmt das soweit?
Ja!
> Aber mir ist natürlich bekannt, dass die Reihe dann
> divergiert, jedoch konvergiert, wenn sie zusätzlich
> alternierend ist.
> Damit habe ich ja jetzt ein Gegenbeispiel und kann die
> Aussage begründet verneinen.
Genau.
Beste Grüße,
Marcel
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