Potenzreihe Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 So 22.07.2012 | | Autor: | yuppi |
Also Zusammen, ich habe folgende Potenzreihe berechnet, welcher sehr einfach gewesen ist:
[mm] \summe_{i=0}^{n} (-3)^n [/mm] * [mm] x^n
[/mm]
So mit dem Wurzelkriterium bekomme ich R = | [mm] \bruch{1}{3} [/mm] | raus.
Daraus entnehme ich nun das der Konvergenzradius von [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] bis + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] geht.
Und darüber ist Divergenz wo x größer 1/3 und kleiner 1/3.
Nun ist allerdings meine entscheidene Frage.
Nach dem Wurzelkriterium gilt ja allgemein divergenz liegt von wenn ein c existiert, dass < 1 ist.
Ist das nun kein Widerspruch ??
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 So 22.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also Zusammen, ich habe folgende Potenzreihe berechnet,
> welcher sehr einfach gewesen ist:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n} (-3)^n[/mm] * [mm]x^n[/mm]
Du meinst sicher [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-3)^n[/mm] * [mm]x^n[/mm]
>
> So mit dem Wurzelkriterium bekomme ich R = | [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> | raus.
Ja
>
> Daraus entnehme ich nun das der Konvergenzradius von
> [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] bis + [mm]\bruch{1}{3}[/mm] geht.
Das Konvergenzintervall (!) ist (-1/3, 1/3)
>
> Und darüber ist Divergenz wo x größer 1/3
Hier sogar x [mm] \ge [/mm] 1/3
> und kleiner
> 1/3.
Nein. .... und x [mm] \le [/mm] -1/3
>
> Nun ist allerdings meine entscheidene Frage.
>
> Nach dem Wurzelkriterium gilt ja allgemein divergenz liegt
> von wenn ein c existiert, dass < 1 ist.
Drücke Dich bitte klarer aus !
FRED
> Ist das nun kein Widerspruch ??
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 So 22.07.2012 | | Autor: | yuppi |
Wieso gilt bei x= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] und x= [mm] \bruch{-1}{3} [/mm] schon divergenz. ?
Das ist mir nicht klar....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 So 22.07.2012 | | Autor: | fred97 |
>
>
> Wieso gilt bei x= [mm]\bruch{1}{3}[/mm] und x= [mm]\bruch{-1}{3}[/mm] schon
> divergenz. ?
>
> Das ist mir nicht klar....
Setze diese Werte doch mal in die Potenzreihe ein. Bekommst Du konvergente Reihen ? ich nicht.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 So 22.07.2012 | | Autor: | yuppi |
Ja habe ich nun gemacht.
Es kommt einmal [mm] -1^n [/mm] raus und einmal [mm] 1^n [/mm] raus.
Und man sagt nun, da dies keine Nullfolgen sind, divergiert die Potenzreihe ??
Ich habe spaßeshalber auch x= [mm] \bruch{1}{5} [/mm] in die Potenzreihe eingesetzt.
Dafür erhalte ich doch auch keine Nullfolge.
Aber dort divergiert die Reihe doch nicht... Haben wir ja so eben mit dem Konvergenzradius begründet.
Danke im Voraus.
Gruß yuppi
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ich habe spaßeshalber auch x= [mm]\bruch{1}{5}[/mm] in die
> Potenzreihe eingesetzt.
>
> Dafür erhalte ich doch auch keine Nullfolge.
hm, wie bist du denn auf diese Ansicht gekommen; weshalb soll das keine Nullfolge ergeben?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 So 22.07.2012 | | Autor: | yuppi |
Ja weil da :
[mm] (-\bruch{3}{5})^n [/mm] rauskommt.... wenn ich x= [mm] \bruch{1}{5} [/mm] in die Potenzreihe einsetze..
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ja weil da :
>
> [mm](-\bruch{3}{5})^n[/mm] rauskommt.... wenn ich x= [mm]\bruch{1}{5}[/mm] in
> die Potenzreihe einsetze..
Genau. Und gegen was strebt das für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] ?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:44 So 22.07.2012 | | Autor: | yuppi |
ja super =)
Der Nenner wächst ja schneller als der Zähler.
Also konvergiert es gegen Null, und somit eine Nullfolge ;)
Danke nochmal..
|
|
|
| |
|
Hi!
Nur als Zusatz:
In deinem selbst konstruierten Beispiel könntest du den Grenzwert der Reihe in dem Fall soger genau berechnen, indem du den Grenzwert der Geometrischen Reihe betrachtest.
Also für die Summe: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-\frac{3}{5})^n
[/mm]
> Ja weil da :
>
> [mm](-\bruch{3}{5})^n[/mm] rauskommt.... wenn ich x= [mm]\bruch{1}{5}[/mm] in
> die Potenzreihe einsetze..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 So 22.07.2012 | | Autor: | yuppi |
> > Also Zusammen, ich habe folgende Potenzreihe berechnet,
> > welcher sehr einfach gewesen ist:
> >
> > [mm]\summe_{i=0}^{n} (-3)^n[/mm] * [mm]x^n[/mm]
>
> Du meinst sicher [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-3)^n[/mm] * [mm]x^n[/mm]
>
> >
> > So mit dem Wurzelkriterium bekomme ich R = | [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> > | raus.
>
> Ja
>
>
> >
> > Daraus entnehme ich nun das der Konvergenzradius von
> > [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] bis + [mm]\bruch{1}{3}[/mm] geht.
>
> Das Konvergenzintervall (!) ist (-1/3, 1/3)
> >
Ist das nicht falsch ?? In x= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] und x= [mm] \bruch{-1}{3} [/mm] ist ja die Potenreihe keine Nullfolge.
Müsste Demnach nicht das Konvergenzintervall sein:
- [mm] \bruch{1}{3} [/mm] < x < [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Also nicht kleiner gleich ! So muss das nun stimmen, oder ?
Gruß yuppi
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > > Daraus entnehme ich nun das der Konvergenzradius von
> > > [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] bis + [mm]\bruch{1}{3}[/mm] geht.
> >
> > Das Konvergenzintervall (!) ist (-1/3, 1/3)
> > >
>
> Ist das nicht falsch ?? In x= [mm]\bruch{1}{3}[/mm] und x=
> [mm]\bruch{-1}{3}[/mm] ist ja die Potenreihe keine Nullfolge.
Hat Fred ja auch nicht geschrieben. Er hat doch offene Klammern benutzt. Also ein offenes Intervall.
> Müsste Demnach nicht das Konvergenzintervall sein:
>
> - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] < x < [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Also nicht kleiner gleich ! So muss das nun stimmen, oder
> ?
>
> Gruß yuppi
Ich verweise noch einmal ganz klar auf Freds Aussage: "Drücke Dich bitte klarer aus ! "
Er hat Recht - wie sooft.
Deine Reihe macht schon in der Aufgabenstellung absolut keinen Sinn. Die Summe geht nicht gegen unendlich, der Index i kommt gar nicht vor. Das Teil haut vorne und hinten nicht hin.
Eine gewisse Struktur erkennt man leider in der Lösung auch nicht. Nutze doch klare Formulierungen, mathematische Symbole - dann wird es auch leichter es zu verstehen.
Je schneller der potentielle Antwortgeber es versteht, umso schneller kann dir geholfen werden. Das sollte wohl auch in deinem Sinne sein.
Das man sich einmal vertippt ist klar und auch verzeihlich. Aber wenn in der Frage schon einiges nicht hinhaut...
|
|
|
|
