Potenzreihe bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 So 11.05.2008 | | Autor: | Surfer |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Potenzreihe der Funktion
[mm] f:\IR \{\pm\bruch{\wurzel{2}}{2}\}\to \IR: x\mapsto \bruch{1}{1-2x^{2}} [/mm] um den Entwicklungspunkt 0 und berechnen Sie, für welche x diese konvergiert.
Hinweis: Betrachten Sie die geometrische Reihe zum Vergleich. |
Hallo, wie muss ich denn vorgehen um von dieser Funktion
[mm] f:\IR \{\pm\bruch{\wurzel{2}}{2}\}\to \IR: x\mapsto \bruch{1}{1-2x^{2}} [/mm] um den Entwicklungspunkt 0 die Potenzreihe zu bestimmen?
Danke für Hilfe im voraus!
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 So 11.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Surfer,
> Bestimmen Sie die Potenzreihe der Funktion
> [mm]f:\IR \{\pm\bruch{\wurzel{2}}{2}\}\to \IR: x\mapsto \bruch{1}{1-2x^{2}}[/mm]
> um den Entwicklungspunkt 0 und berechnen Sie, für welche x
> diese konvergiert.
> Hinweis: Betrachten Sie die geometrische Reihe zum
> Vergleich.
> Hallo, wie muss ich denn vorgehen um von dieser Funktion
>
> [mm]f:\IR \{\pm\bruch{\wurzel{2}}{2}\}\to \IR: x\mapsto \bruch{1}{1-2x^{2}}[/mm]
> um den Entwicklungspunkt 0 die Potenzreihe zu bestimmen?
Naja, eigentlich steht doch schon alles in der Aufgabe.
1. Was ist denn der Grenzwert der geometrischen Reihe [mm] $\summe_{n=0}^\infty q^n=\ldots$?
[/mm]
2. Und vergleiche diesen Ausdruck doch mal mit deiner Funktionsvorschrift [mm] $\bruch{1}{1-2x^{2}}$.
[/mm]
3. Welcher Term entspricht dem q?
4. Welche Voraussetzungen sind an das q geknüpft, damit die geometrische Reihe konvergiert? Diese Voraussetzungen übertragen sich natürlich auch auf den Term aus Punkt 3.
Kommt du damit weiter?
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 So 11.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi Marc,
hab mal deine Anmerkungen versucht zu beantworten:
1. Was ist denn der Grenzwert der geometrischen Reihe ?
die geometrische Reihe konvergiert doch gegen 0 d.h. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = 0
2. Und vergleiche diesen Ausdruck doch mal mit deiner Funktionsvorschrift .
die geometrische Reihe lässt sich ja auch mit dem Term [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] beschreiben und dem ist meine vorgegeben Funktion mit [mm] \bruch{1}{1-2x^{2}} [/mm] ziemlich ähnlich!
3. Welcher Term entspricht dem q?
siehe unter 2.) aber wie komme ich auf diesen Term? ich habe ihn aus dem Repretorium?
4. Welche Voraussetzungen sind an das q geknüpft, damit die geometrische Reihe konvergiert? Diese Voraussetzungen übertragen sich natürlich auch auf den Term aus Punkt 3.
mhh?
Kommt du damit weiter?
irgendwie nicht ganz, ist es nicht so zu machen, dass man erst ein paar Ableitungen macht und dann den Wert 0 einsetzt und dann mit Hilfe der Taylor-Formel eine reihe aufstellen kann bzw. mit der geometrischen Reihe?
lg Surfer danke für deine Mühe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 So 11.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Surfer,
> Hi Marc,
> hab mal deine Anmerkungen versucht zu beantworten:
> 1. Was ist denn der Grenzwert der geometrischen Reihe ?
>
> die geometrische Reihe konvergiert doch gegen 0 d.h.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = 0
Nein, das verwechselst du vielleicht mit der geometrischen Folge; für diese gilt für $|q|<1$:
[mm] $\limes_{n\to\infty} q^n=0$
[/mm]
Interessanterweise gibst du aber unter 2.) die Antwort:
[mm] $\summe_{n=0}^\infty q^n=\bruch{1}{1-q}$ [/mm] für $|q|<1$.
> 2. Und vergleiche diesen Ausdruck doch mal mit deiner
> Funktionsvorschrift .
>
> die geometrische Reihe lässt sich ja auch mit dem Term
> [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] beschreiben und dem ist meine vorgegeben
> Funktion mit [mm]\bruch{1}{1-2x^{2}}[/mm] ziemlich ähnlich!
Eben!
> 3. Welcher Term entspricht dem q?
>
> siehe unter 2.) aber wie komme ich auf diesen Term? ich
> habe ihn aus dem Repretorium?
Du musst also [mm] $\bruch{1}{1-q}$ [/mm] mit [mm] $\bruch{1}{1-2x^2}$ [/mm] vergleichen.
Welcher Term entspricht also dem q?
[mm] $q=\ldots$?
[/mm]
> 4. Welche Voraussetzungen sind an das q geknüpft, damit die
> geometrische Reihe konvergiert? Diese Voraussetzungen
> übertragen sich natürlich auch auf den Term aus Punkt 3.
>
> mhh?
Die geometrische Reihe aus Punkt 1.) hat doch nur unter der Voraussetzung $|q|<1$ den Grenzwert [mm] $\bruch{1}{1-q}$
[/mm]
Also:
$|q|<1$
Term aus 3. für q einsetzen:
[mm] $|\ldots|<1$
[/mm]
Nach x auflösen:
[mm] $|x|<\ldots$
[/mm]
> Kommt du damit weiter?
Und nun?
> irgendwie nicht ganz, ist es nicht so zu machen, dass man
> erst ein paar Ableitungen macht und dann den Wert 0
> einsetzt und dann mit Hilfe der Taylor-Formel eine reihe
> aufstellen kann bzw. mit der geometrischen Reihe?
Das ist hier viel zu kompliziert 
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 So 11.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi Marc
> Welcher Term entspricht also dem q?
naja, das q entspricht dem Teil [mm] 2x^{2} [/mm]
>
> [mm]q=\ldots[/mm]?
>
> Also:
> [mm]|q|<1[/mm]
>
> Term aus 3. für q einsetzen:
>
> [mm]|\ldots|<1[/mm]
[mm] |2x^{2}| [/mm] < 1
>
> Nach x auflösen:
>
> [mm]|x|<\ldots[/mm]
|x| < [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
>
> > Kommt du damit weiter?
aber wie komme ich jetzt genau auf die Potenzreihe?
ich habe jetzt die Terme ja nur verglichen!
>
>
Gruß Surfer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 So 11.05.2008 | | Autor: | Surfer |
ja wenn ich q:= [mm] 2x^{2} [/mm] einsetze, dann hab ich ja die Funktion die ich gegeben hatte also [mm] \bruch{1}{1-2x^{2}}!!!
[/mm]
aber das sit doch noch nicht meine Potenzreihe oder etwa doch?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 So 11.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Surfer,
> ja wenn ich q:= [mm]2x^{2}[/mm] einsetze, dann hab ich ja die
> Funktion die ich gegeben hatte also [mm]\bruch{1}{1-2x^{2}}!!![/mm]
>
> aber das sit doch noch nicht meine Potenzreihe oder etwa
> doch?
Nein, das ist der Grenzwert.
Du sollst q in die geometrische Reihe einsetzen.
(Unendliche) geometrische Reihe nennt man den Ausdruck [mm] $\summe_{n=0}^\infty q^n$.
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 So 11.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi,
> Du sollst q in die geometrische Reihe einsetzen.
> (Unendliche) geometrische Reihe nennt man den Ausdruck
> [mm]\summe_{n=0}^\infty q^n[/mm].
dann hätte ich ja [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (2x^{2})^{n}
[/mm]
>
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 So 11.05.2008 | | Autor: | Marc |
> dann hätte ich ja [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (2x^{2})^{n}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 So 11.05.2008 | | Autor: | Surfer |
und diese konvergiert für alle x < [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] bzw. [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] oder?
danke für deine Hilfe
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 So 11.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Surfer,
> und diese konvergiert für alle x < [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
> bzw. [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] oder?
Fast: Für alle x mit [mm] $|x|<\bruch{\wurzel{2}}{2}$
[/mm]
Ist dir denn auch klar, dass sich [mm] $\summe_{n=0}^\infty (2x^2)^n$ [/mm] als Potenzreihe schreiben lässt?
Eine Potenzreihe (mit Entwicklungspunkt 0) ist ja eine Reihe der Form [mm] $\summe_{n=0}^\infty a_n* x^n$.
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 So 11.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi Marc,
>
> Ist dir denn auch klar, dass sich [mm]\summe_{n=0}^\infty (2x^2)^n[/mm]
Ich dachte das wäre bereits unsere Potenzreihe?
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} 2x^{2n}
[/mm]
> als Potenzreihe schreiben lässt?
> Eine Potenzreihe (mit Entwicklungspunkt 0) ist ja eine
> Reihe der Form [mm]\summe_{n=0}^\infty a_n* x^n[/mm].
ja genau, aber was wäre das in unserem Fall?
>
Grüße
Surfer
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Hallo Surfer,
> Hi Marc,
> >
> > Ist dir denn auch klar, dass sich [mm]\summe_{n=0}^\infty (2x^2)^n[/mm]
>
> Ich dachte das wäre bereits unsere Potenzreihe?
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 2x^{2n}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Vorsicht mit den Potenzgesetzen 
Es ist [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(2\cdot{}x^2\right)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}2^n\cdot{}\left(x^2\right)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}2^n\cdot{}y^n$
[/mm]
So ist es in der "Standardform" geschrieben mit [mm] $a_n=2^n$ [/mm] und [mm] $y=x^2$
[/mm]
> > als Potenzreihe schreiben
> lässt?
> > Eine Potenzreihe (mit Entwicklungspunkt 0) ist ja eine
> > Reihe der Form [mm]\summe_{n=0}^\infty a_n* x^n[/mm].
>
> ja genau, aber was wäre das in unserem Fall?
> >
> Grüße
> Surfer
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 So 11.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi,
ok das ist logisch! Und das war jetzt hier die ganze Aufgabe?
Ging ja ziemlich schnell und nicht mal so schwer!
danke nochmal
lg Surfer
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:20 So 11.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo Surfer, hallo schachuzipus!
> Es ist
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(2\cdot{}x^2\right)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}2^n\cdot{}\left(x^2\right)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}2^n\cdot{}y^n[/mm]
>
> So ist es in der "Standardform" geschrieben mit [mm]a_n=2^n[/mm] und
> [mm]y=x^2[/mm]
Durch diese Substitution ist die Standardform aber nicht erreicht. Die Standardform der Potenzrehe lässt sich so erreichen:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}(2x^2)^n$
[/mm]
[mm] $=\summe_{n=0}^{\infty} 2^n x^{2n}$
[/mm]
[mm] $=2^0*x^0\ [/mm] +\ [mm] 2^1*x^2\ [/mm] +\ [mm] 2^2*x^4\ [/mm] +\ [mm] 2^3*x^6\ [/mm] +\ [mm] \ldots$
[/mm]
[mm] $=2^0*x^0\ \red{+ 0*x^1}\ [/mm] +\ [mm] 2^1*x^2\ \red{+ 0*x^3}\ [/mm] +\ [mm] 2^2*x^4\ \red{+ 0*x^5}\ [/mm] +\ [mm] 2^3*x^6\ [/mm] +\ [mm] \ldots$
[/mm]
[mm] $=\summe_{k=0}^{\infty} b_k*x^k$ [/mm] mit [mm] $(b_k)=2^0,0,2^1,0,2^2,0,2^3,0,\ldots$ [/mm] bzw. [mm] $b_k=\begin{cases} 2^{k/2}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}$
[/mm]
Für die Beantwortung der Aufgabe reicht vielleicht aber auch schon die Angabe der Potenzreihe in der Form
[mm] $\summe_{n=0}^\infty 2^n*x^{2n}$
[/mm]
aber eben nur, wenn jedem klar ist, dass man dies wie oben als Potenzreihe schreiben kann.
Viele Grüße,
Marc
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