Potenzreihe entwickeln < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:08 Fr 28.03.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | Man zeige: Die Reihe [mm] f(x):=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{1-x^{n}} [/mm] konvergiert für jedes x [mm] \in [/mm] (-1,1) und sie konvergiert für jedes r [mm] \in [/mm] (0,1) auf dem Intervall [-1,1] gleichmäßig.
Die Funktion f ist um [mm] x_0=0 [/mm] in eine Potenzreihe entwickelbar. Man ermittle die Koeffizienten dieser Reihe. |
Hallo,
den ersten Teil habe ich schon gezeigt, aber wie entwickle ich die Potenzreihe jetzt im Entwicklungspunkt [mm] x_0=0?
[/mm]
Wäre sehr dankbar für einen Tipp.
Grüße kiri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo kiri!
Forme hier um ... dann solltest Du doch eine Ähnlichkeit mit der geometrischen Reihe erkennen:
[mm] $$\bruch{x^n}{1-x^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{1-1}+x^n}{1-x^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1-x^n}+\bruch{-1+x^n}{1-x^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1-x^n}-\bruch{1-x^n}{1-x^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1-x^n}-1$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Fr 28.03.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay, der altbekannte Trick... Ich dank dir.
Nun habe ich aber noch ein Problem:
Es gilt dann ja jetzt folgendes:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{1-x^{n}}=\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{1-x^{n}}-1)=\summe_{n=1}^{\infty}(\summe_{n=1}^{\infty}x^{n}-1)
[/mm]
Aber wie lautet jetzt die Potenzreihendarstellung?
Liebe Grüße
kiri
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Hallo kiri111,
> Hallo,
> okay, der altbekannte Trick... Ich dank dir.
>
> Nun habe ich aber noch ein Problem:
> Es gilt dann ja jetzt folgendes:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{1-x^{n}}=\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{1-x^{n}}-1)=\summe_{n=1}^{\infty}(\summe_{n=1}^{\infty}x^{n}-1)[/mm]
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{1-x^{n}}=\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{1-x^{n}}-1)=\summe_{n=1}^{\infty}(\summe_{l=0}^{\infty}{\left(x^{n}\right)}^{l}-1)=\summe_{n=1}^{\infty}(1+\summe_{l=1}^{\infty}{\left(x^{n}\right)}^{l}-1)=\summe_{n=1}^{\infty}\summe_{l=1}^{\infty}{\left(x^{n}\right)}^{l}[/mm]
Setzen wir nun [mm]n*l=k[/mm], so nehmen n bzw. l alle Werte an, die Teiler von k sind.
Demnach haben wir:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}\summe_{l=1}^{\infty}{\left(x^{n}\right)}^{l}=\summe_{k=1}^{\infty}\left(\summe_{n | k}^{}{1}\right)*x^{k}[/mm]
> Aber wie lautet jetzt die Potenzreihendarstellung?
>
> Liebe Grüße
> kiri
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Fr 28.03.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay, das ist geschickt... Vielen Dank.
Ganz liebe Grüße
kiri
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