Potenzreihe, holo. Fortsetzung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:52 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Seien die folgenden Potenzreihen gegeben
[mm] $P_1(z)=z+\frac{1}{2}z^2+\frac{1}{3}z^3+\cdots$
[/mm]
[mm] $P_2(z)=i\pi-(z-2)+\frac{1}{2}(z-2)^2-\frac{1}{3}(z-2)^3+\cdots$
[/mm]
Zeigen Sie:
(1): [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] haben disjunkte Konvergenzkreise [mm] $D_1$ [/mm] und [mm] $D_2$
[/mm]
(2): Zeigen Sie, dass die zugehörigen holomorphen Funktionen analytische Fortsetzungen
voneinander sind, d.h.
[mm] $\exists\,G\subset\IC$ [/mm] Gebiet mit [mm] $D_1\subset [/mm] G$ und [mm] $D_2\subset [/mm] G$ [mm] $\wedge$ $\exists\,f:G\rightarrow\C$ [/mm] holomorph in $G$:
[mm] $f(z)=P_1(z)$ $\forall\,z\in D_1$ [/mm] und [mm] $f(z)=P_2(z)$ $\forall\,z\in D_2$
[/mm]
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Hallo an alle,
[mm] \underline{\textbf{zu (1):}}
[/mm]
Zunächst stellt man fest, dass
[mm] $P_1(z)=-\ln(1-z)$
[/mm]
[mm] $P_2(z)=i\pi-\ln(-(1-z))$
[/mm]
ist. Aus der Quotientenregel erhält man (nach geeigneter Wahl der Koeffizientenfolge der jeweiligen Potenzreihe), dass der Konvergenzradius beider Potenzreihen $1$ ist. Damit sind die Konvergenzkreise durch
[mm] $D_1:=B_{1}(0)=\{z\in\IC\mid |z|<1\}$
[/mm]
[mm] $D_2:=B_{1}(2)=\{z\in\IC\mid |z-2|<1\}$
[/mm]
gegeben und insbesondere disjunkt, denn [mm] $D_1\cap D_2=\emptyset$.
[/mm]
[mm] \underline{\textbf{zu (2):}}
[/mm]
Zunächst gilt (da [mm] $\ln$ [/mm] auf [mm] $\IC\backslash\{x\in\IR\mid x\leqslant 0\}$ [/mm] stetig und holomorph)
[mm] $P_1:\IC\backslash\{z\in\IR\mid z\geqslant 1\}\rightarrow\IC$ [/mm] stetig und holomorph
[mm] $P_2:\IC\backslash\{z\in\IR\mid z\leqslant 1\}\rightarrow\IC$ [/mm] stetig und holomorph
[mm] \textbf{1. Frage:} [/mm] Wie muss ich nun mein Gebiet [mm] $G\subset\IC$ [/mm] wählen und wie sieht meine darauf holomorphe Funktion $f$ aus?
[mm] \textbf{2. Frage:} [/mm] Ich weiß nicht, ob mir dies bei diesem Aufgabenteil weiterhilft, aber ist die folgende Berechnung richtig und eventuell hilfreich? Wegen
[mm] $\ln(z)=\ln|z|+i\mathrm{arg}(z)\quad\forall\,z\in\IC$
[/mm]
gilt
[mm] $\ln(i)=\underbrace{\ln(1)}_{=0}+i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\IZ\right)=i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\IZ\right)$
[/mm]
und deswegen
[mm] $P_2(z)=\pi i-\ln(-(1-z))=\pi i-\ln(i^2(1-z))=\pi i-\ln(i^2)-\ln(1-z)=\pi i-2\ln(i)-\ln(1-z)=-4\pi i\IZ-\ln(1-z)$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 Di 26.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hat hier niemand eine Idee?
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 10:56 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Ich muss diese Frage leider Gottes noch einmal wiederbeleben. Da ich weiterhin an die Loesung dieser Aufgabe interessiert bin, waere ich ueber jeden hilfreichen Rat aeusserst dankbar.
Danke und Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 01.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Fr 29.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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