Potenzreihe mit Fakultäten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(k!)^2}{(2k)!}x^k [/mm] |
Für diese Potenzreihe soll der Konvergenzbereich berechnet werden. Ich wollte zunächst den Ausdruck vereinfachen, habe bis jetzt aber nur:
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{k!*k!}{(2k)!}x^k
[/mm]
Hat jemand einen Tipp wie ich weiter machen kann?
Gruß Dennis
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Dennis!
Hier gibt es nicht viel zu vereinfachen. Um den gesuchten Konvergenzbereich zu ermitteln, solltest Du hier das ![[]](/images/popup.gif) Quotientenkriterium anwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Do 05.04.2012 | | Autor: | Incubus84 |
Hallo Roadrunner,
das habe ich versucht, mich dann aber in irgendwelchen Umformungen verrannt. Meiner Erfahrung nach hat man es leichter wenn man vorher etwas vereinfacht statt nur die Konvergenzkriterien anzuwenden. Ich werde es nochmal versuchen, aber vielleicht fällt jemandem ja doch noch ein anderer Weg ein.
LG Dennis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Do 05.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Roadrunner,
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> das habe ich versucht, mich dann aber in irgendwelchen
> Umformungen verrannt. Meiner Erfahrung nach hat man es
> leichter wenn man vorher etwas vereinfacht statt nur die
> Konvergenzkriterien anzuwenden. Ich werde es nochmal
> versuchen, aber vielleicht fällt jemandem ja doch noch ein
> anderer Weg ein.
>
> LG Dennis
Ich hab ganz wenig Erfahrung in Mathematik, aber die Aufgabe habe ich mal so gemacht, wie Roadrunner es gesagt hat. Und siehe da: alles löst sich in Wohlgefallen auf. Probiers auch mal. Rechne hier vor, dann können andere, die mehr Erfahrung als ich haben, Deine eventuellen Fehler finden.
Gruß FRED
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| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(k!)^2}{(2k)!}x^k [/mm] |
[mm] \limes_{k \to \infty} \left| \bruch{(k!)^2}{(2k)!} * \bruch{(2(k+1)!}{((k+1)!)^2} \right|
[/mm]
= [mm] \limes_{k \to \infty} \left| \bruch{(k!)^2}{(2k)!} * \bruch{(2k+2)!}{((k!*(k+1))^2} \right|
[/mm]
= [mm] \limes_{k \to \infty} \left| \bruch{(k!)^2}{(2k)!} * \bruch{(2k+2)!}{(k!)^2*(k+1)^2} \right|
[/mm]
= [mm] \limes_{k \to \infty} \left| \bruch{(2k+2)!}{(2k)!*(k+1)^2} \right|
[/mm]
= [mm] \limes_{k \to \infty} \left| \bruch{(2k)! + 2!}{(2k)!*(k+1)^2} \right|
[/mm]
= [mm] \limes_{k \to \infty} \left| \bruch{1 + \bruch{2!}{(2k)!}}{(k+1)^2} \right|
[/mm]
= [mm] \limes_{k \to \infty} \left| \bruch{1 + \bruch{2!}{(2k)!}}{k^2+2k+1} \right|
[/mm]
Nach Kürzen mit [mm] k^2 [/mm] geht dies meines Erachtens gegen Null... was aber falsch ist.
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Hallo Incubus,
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(k!)^2}{(2k)!}x^k[/mm]
> [mm]\limes_{k \to \infty} \left| \bruch{(k!)^2}{(2k)!} * \bruch{(2(k+1)\red{)}!}{((k+1)!)^2} \right|[/mm]
Da fehlte eine wichtige Klammer!
>
> = [mm]\limes_{k \to \infty} \left| \bruch{(k!)^2}{(2k)!} * \bruch{(2k+2)!}{((k!*(k+1))^2} \right|[/mm]
>
> = [mm]\limes_{k \to \infty} \left| \bruch{(k!)^2}{(2k)!} * \bruch{(2k+2)!}{(k!)^2*(k+1)^2} \right|[/mm]
>
> = [mm]\limes_{k \to \infty} \left| \bruch{(2k+2)!}{(2k)!*(k+1)^2} \right|[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> = [mm]\limes_{k \to \infty} \left| \bruch{(2k)! + 2!}{(2k)!*(k+1)^2} \right|[/mm]
Hier wird es falsch! Nach welcher Regel hast du den Zähler umgeformt?
Es ist doch [mm] $(n+1)!=n!\cdot{}(n+1)$
[/mm]
Wende das 2mal an und du hast [mm] $(2k+2)!=(2k)!\cdot{}(2k+1)\cdot{}(2k+2)$
[/mm]
Damit rechne ab hier nochmal ...
>
> = [mm]\limes_{k \to \infty} \left| \bruch{1 + \bruch{2!}{(2k)!}}{(k+1)^2} \right|[/mm]
>
> = [mm]\limes_{k \to \infty} \left| \bruch{1 + \bruch{2!}{(2k)!}}{k^2+2k+1} \right|[/mm]
>
> Nach Kürzen mit [mm]k^2[/mm] geht dies meines Erachtens gegen
> Null... was aber falsch ist.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Incubus84 |
> Es ist doch [mm](n+1)!=n!\cdot{}(n+1)[/mm]
Genau das hat mir zum richtigen Ergebnis gefehlt! Vielen Dank, die Aufgabe ist gelöst! 
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