Potenzreihe mit Konvergenzrad. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:37 Mi 01.12.2004 | | Autor: | semmel |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Matheraumbesucher,
ich hab versucht, diese Aufgabe zu lösen, aber ich bin mir total unsicher ob es richtig ist. Deshalb bitte ich um gute Tipps und Tricks:
Sei f(x) = [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} a_{n} x^{n} [/mm] eine Potenzreihe
mit Konvergenzradius [mm] r_{1} [/mm] und
g(x) = [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} b_{n} x^{n} [/mm] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius [mm] r_{2}. [/mm] Zeigen Sie, dass die Potenzreihe
h(x) = [mm] \summe_{n=0}^{ \infty}( \summe_{n=0}^{n} a_{k} b_{n-k}) x^{n}
[/mm]
mindestens den Konvergenzradius min { [mm] r_{1}, r_{2}} [/mm] hat und dass für |x|< min { [mm] r_{1}, r_{2}} [/mm] gilt: h(x) = f(x) g(x).
Diese Aufgabe hat wahrscheinlich was mit Reihen und ihren Kriterien zu tun, aber ich versteh sie einfach nicht, weil ich den Szoff in der Vorlesung nich verstanden habe mit der doppelten Summe. Ich weiß nicht, wann ich was vertauschen kann. Deshlab bitte ich um Hilfe. Vielen Dank.
Lg, semmel
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Gnometech |
Grüße!
> Hallo Matheraumbesucher,
> ich hab versucht, diese Aufgabe zu lösen, aber ich bin mir
> total unsicher ob es richtig ist.
Sehr schön! Dann poste doch einfach Deinen Lösungsansatz und dann können wir beurteilen, was daran Ok ist und was evtl. nicht. Keine Sorge, wenn Du es als Versuch kennzeichnest, wird das niemand löschen, nur weil es falsch ist... 
Also, her mit den Ansätzen! Dann können wir viel gezielter auf das eingehen, was Du noch nicht verstanden hast.
Lars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Mi 01.12.2004 | | Autor: | semmel |
ich werd versuchen, in den nächsten tagen meine lösung einzutippen, bitte hilf mir dann, und sag was falsch ist, und gib mir ne richtige dann.
danke!
semmel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:57 Fr 03.12.2004 | | Autor: | semmel |
Hallo!
Ich hab jetzt versucht, die Aufgabe zu lösen, komm aber auf keinen grünen Zweig. Ich hab im Foster nachgeschaut, und weiß nur dass das Produkt auch absolut konvergiert im gemeinsamen Konvergenzbereich, also hier r1 oder? Und zwar konvergent gegen das Produkt der beiden grenzfunktionen oder? weil man kann sich das doch als zwei Kreisscheiben vorstellen, die aufeinander liegen.
und was bedeutet heir min{r1,r2}?WAs ist das überhaupt? ich versteh nicht, was die AUfgabe von mir wissen will. 
Danke, semmel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:28 Fr 03.12.2004 | | Autor: | semmel |
...nicht nur Lars. Ich wär dankbar dafür, wenn jemand mir helfen könnte. Ich komm einfach nicht auf die Lösung.
Vielen Dank. semmel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Ingmar |
Hallo semmel.
Ich kann die Aufgabe nicht lösen, aber ich werde versuchen für dich etwas zur klärung beizutragen.
Du hast zwei Potenzreihen f(x) und g(x), die in der allgemein Form angegeben wurden. Ausserdem sind dir die beiden Konvergenzradien gegeben.
Bei der Potenzreihe h(x) hast du dich, glaub ich vertippt. Die innere Summe müsste eigentlich folgendermaßen aussehen:
[mm] \summe_{k=0}^{n}
[/mm]
Stimmt das?
Wenn ja, solltest du mal in deinen Büchern oder im Internet suchen, was du zum Cauchy-Produkt findest. Grob könnte man sagen, dass die Reihe h(x) bis auf das [mm] x^n [/mm] dem Cauchy-Produkt der Reihen f(x) und g(x) entspricht.
Deine Aufgabe ist nun:
1. Zu zeigen, dass der Konvergenzradius der Reihe h(x) nicht kleiner ist, als der kleinere der Konvergenzradien [mm] r_{1} [/mm] und [mm] r_{2}.
[/mm]
min [mm] {r_{1},r_{2}} [/mm] bedeutet einfach die kleinere der beiden Zahlen. (Minimum).
2. Dass für jedes x, das kleiner ist als das Minimum von [mm] r_{1} [/mm] und [mm] r_{2} [/mm] (also kleiner als der Konvergenzradius von h(x) ) die Funktionswerte der drei Reihen gleich sind.
Steht in der Aufgabe evtl. x [mm] \in [/mm] der positiven reelen Zahlen?
Das würde bedeuten das jedes x, dass kleiner ist als das Minimum von [mm] r_{1} [/mm] und [mm] r_{2} [/mm] auf jeden Fall im Konvergenzradius aller drei Folgen liegt.
Ich hoffe das Hilft weiter.
Grüße Ingmar
|
|
|
|
