Potenzreihen-Ungleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | z.Z.: [mm] \summe_{k=0}^{2n+1} \bruch{x^k}{k!} [/mm] < [mm] e^x [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0 |
ich habe nun die potenzreihendarstellung der exponentialfunktion eingesetzt, wodurch man die äquivalente folgende ungleichung erhält:
[mm] \summe_{k=2n+2}^{\infty} \bruch{x^k}{k!} [/mm] > 0
für positive x ist das offensichtlich richtig (nur positive summanden).
für -1 [mm] \le [/mm] x < 0 ist es mir ebenfalls klar, weil die folge der partialsummen gegen 0 strebt und der erste und größte summand posititiv ist, ABER für x < -1 steh ich gerade anscheinend auf dem schlauch. wie kann man das beweisen?
vielen dank im voraus,
hannes
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> z.Z.: [mm]\summe_{k=0}^{2n+1} \bruch{x^k}{k!}[/mm] < [mm]e^x[/mm] für x
> [mm]\not=[/mm] 0
> ich habe nun die potenzreihendarstellung der
> exponentialfunktion eingesetzt, wodurch man die
> äquivalente folgende ungleichung erhält:
>
>
> [mm]\summe_{k=2n+2}^{\infty} \bruch{x^k}{k!}[/mm] > 0
>
> für positive x ist das offensichtlich richtig (nur
> positive summanden).
> für -1 [mm]\le[/mm] x < 0 ist es mir ebenfalls klar, weil die
> folge der partialsummen gegen 0 strebt und der erste und
> größte summand posititiv ist, ABER für x < -1 steh ich
> gerade anscheinend auf dem schlauch. wie kann man das
> beweisen?
>
> vielen dank im voraus,
> hannes
Hallo hannes,
das muss wohl mit dem ungeraden oberen Index bei
der Summe zu tun haben. Wäre dort der gerade Index
2n , so hätte man für negative x eine Summe, die
größer als [mm] e^x [/mm] wird. Die einzelnen Summanden
der Reihe (für ein konstant gewähltes negatives x) sind
abwechselnd positiv und negativ, die Teilsummen sind
abwechselnd größer bzw. kleiner als der Grenzwert [mm] e^x.
[/mm]
Wie man diese Idee nun in einen strikten Beweis ver-
packt, sehe ich aber noch nicht genau.
LG Al-Chw.
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mh,
das hilft mir ehrlich gesagt nicht weiter, so weit war ich auch schon.
was denkst du denn über meinen ansatz?
[mm] \summe_{k=2n+2}^{\infty} \bruch{x^k}{k!} [/mm] > 0 für x < -1 bliebe dort noch zu beweisen, gibt es da keinen trick?
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> was denkst du denn über meinen ansatz?
>
> [mm]\summe_{k=2n+2}^{\infty} \bruch{x^k}{k!}[/mm] > 0 für x < -1
> bliebe dort noch zu beweisen, gibt es da keinen trick?
Für genügend große n (z.B. [mm] n\ge \frac{x}{2}) [/mm] ist dies leicht
zu zeigen, weil dann die Beträge der Glieder streng
monoton abnehmen und ihre Vorzeichen alternieren.
Für kleinere n bin ich auch noch gespannt auf die
Idee von Gonozal.
LG
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Hiho,
[mm] $\summe_{k=2n+2}^{\infty} \bruch{x^k}{k!} [/mm] > 0$
du kannst zwei aufeinanderfolgende Summanden immer zusammenfassen, ich machs mal für die ersten beiden:
[mm] \bruch{x^{2n+2}}{(2n+2)!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{2n+3}}{(2n+3)!}
[/mm]
[mm] \bruch{x^{2n+2}}{(2n+2)!}\left(1 + \bruch{x}{(2n+3)}\right)
[/mm]
Für ausreichend große n ist das nun praktischerweise immer grösser Null 
Für kleinere n kannst du das Problem wegargumentieren. Ne Idee warum?
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:08 Di 29.12.2009 | | Autor: | karlhungus |
es gibt für jedes x unendlich viele zusammengesetzte summanden mit 2n+2+N > x für größer werdende N(=Index der Partialsummen). diese "fressen" den negativen teil, es geht schließlich um die unendliche reihe. reicht das?
ist einleuchtend aber kommt mir schwammig vor :) vielen dank auf jeden fall soweit schonmal
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Do 31.12.2009 | | Autor: | karlhungus |
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Mi 30.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Nach dem Satz von Taylor gibt es ein t zwischen 0 und x mit:
[mm] $e^x-\summe_{k=0}^{2n+1} \bruch{x^k}{k!}= \bruch{e^t}{(2n+2)!} x^{2n+2}$
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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ja, FRED, das ist es doch:
die exponentialfunktion ist immer positiv und [mm] x^{2n+2} [/mm] auch.
damit ist's getan, oder?
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> ja, FRED, das ist es doch:
>
> die exponentialfunktion ist immer positiv ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und [mm]x^{2n+2}[/mm] auch.
kleiner Vorbehalt :
..... wenigstens, wenn [mm] x\not=0 [/mm] vorausgesetzt wird, wie
es ja in deiner Aufgabe auch der Fall ist !
> damit ist's getan, oder?
Ja, so sieht's aus !
LG Al-Chw.
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