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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Sa 10.11.2007 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Bestimme für die folgenden Potenzreihen jeweils den Konvergenzradius und den Konvergenzkreis.
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n*n}{4^n}*(z+3)^n
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^3}{2^n}*z^n [/mm] |
Bei Aufgabe a) habe ich als Resultat -4 erhalten.
Stimmt das?
Aber wie kann ich dann den Konvergenzkreis bestimmen?
Dieser ist ja folgendermassen definiert:
K := [mm] {z\in\IC : |z-z_{0}| < R}
[/mm]
Doch ich sehe nicht, wie ich diesen berechnen kann. Kann ich den Konvergenzradius auch als 4 nehmen, anstellen von -4?
Dann bei Aufgabe b) habe ich für den Konvergenzradius 2 erhalten und bin folgendermassen vorgegangen:
R = [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{n^3}{2^n}})^{-1}
[/mm]
= [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[n]{n^3}}{2})^{-1} [/mm]
= [mm] (\bruch{1}{2}*\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n^3})^{-1}
[/mm]
= ( [mm] \bruch{1}{2}*1)^{-1}
[/mm]
= 2
Ist dies korrekt?
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Hallo jokerose,
> Bestimme für die folgenden Potenzreihen jeweils den
> Konvergenzradius und den Konvergenzkreis.
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n*n}{4^n}*(z+3)^n[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^3}{2^n}*z^n[/mm]
> Bei Aufgabe
> a) habe ich als Resultat -4 erhalten. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wie soll das denn gehen? Der Konvergenzradius R liegt doch stets im Intervall [mm] [0,\infty], [/mm] soll heißen, [mm] \infty [/mm] ist auch als Konvergenzradius zugelassen
> Stimmt das?
> Aber wie kann ich dann den Konvergenzkreis bestimmen?
> Dieser ist ja folgendermassen definiert:
>
> K := [mm]{z\in\IC : |z-z_{0}| < R}[/mm]
Eben, und [mm] |z-z_0| [/mm] ist nicht-negativ
> Doch ich sehe nicht, wie ich diesen berechnen kann. Kann
> ich den Konvergenzradius auch als 4 nehmen
ja, das ist der korrekte Konvergenzradius. Hast du vllt. bei der Berechnung vergessen, Betragstriche zu setzen?
>, anstellen von
> -4?
>
> Dann bei Aufgabe b) habe ich für den Konvergenzradius 2
> erhalten und bin folgendermassen vorgegangen:
>
> R = [mm](\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{n^3}{2^n}})^{-1}[/mm]
>
> = [mm](\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[n]{n^3}}{2})^{-1}[/mm]
> = [mm](\bruch{1}{2}*\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n^3})^{-1}[/mm]
>
> = ( [mm]\bruch{1}{2}*1)^{-1}[/mm]
> = 2
> Ist dies korrekt? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das lässt sich alternativ auch gut mit dem Euler-Kriterium/Quotientenkriterium berechnen
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Sa 10.11.2007 | | Autor: | jokerose |
Jo genau, habe vergessen die Betragsstriche zu setzten.
Vielen Dank!
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