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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Fr 04.04.2008 | | Autor: | it-o-mat |
| Aufgabe | Entwickeln Sie die Funktion [mm] f(x)=\bruch{x^3+4*x}{x^2-4} [/mm] in eine Potenzreihe um [mm] x_0=1.
[/mm]
Geben Sie eine Reihenentwicklung der Funktion [mm] f(x)=\bruch{e^x}{1-x} [/mm] um den Nullpunkt an! |
(Muss ich jedes mal dazuschreiben dass ich die Frage in keinem anderen Forum gepostet hab? naja... bittesehr: )
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hiho!
Ich habe leider ein Problem mit beiden dieser Funktionen... im Grunde weiß ich, was man machen sollte, um eine Potenzreiche zu basteln, nur weiß ich leider - auch nach einigen Versuchen- nicht wie ich da eine gewisse Entwicklung der Ableitungen herauslesen kann. Ich kann da einfach keine Regelmäßigkeit erkennen.
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> Entwickeln Sie die Funktion [mm]f(x)=\bruch{x^3+4*x}{x^2-4}[/mm] in
> eine Potenzreihe um [mm]x_0=1.[/mm]
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> Geben Sie eine Reihenentwicklung der Funktion
> [mm]f(x)=\bruch{e^x}{1-x}[/mm] um den Nullpunkt an!
> (Muss ich jedes mal dazuschreiben dass ich die Frage in
> keinem anderen Forum gepostet hab? naja... bittesehr: )
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hiho!
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> Ich habe leider ein Problem mit beiden dieser Funktionen...
> im Grunde weiß ich, was man machen sollte, um eine
> Potenzreiche zu basteln, nur weiß ich leider - auch nach
> einigen Versuchen- nicht wie ich da eine gewisse
> Entwicklung der Ableitungen herauslesen kann. Ich kann da
> einfach keine Regelmäßigkeit erkennen.
Ich weiss nicht, ob es Sinn macht, hier über die Ableitungen zu gehen (Taylorreihe). Du kannst auch geeignete Umformungen mit Hilfe bekannter Reihen wie [mm] $\mathrm{e}^x =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$ [/mm] verwenden:
[mm]\frac{\mathrm{e}^x}{1-x}=\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)=\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n\ldots\right)x^n\cdots[/mm]
Bei der ersten Funktion ist wegen des Entwicklungspunktes $1$ noch etwas mehr Herumgeturne angesagt: Du könntest etwa, unter Verwendung der Partialbruchzerlegung von [mm] $\frac{1}{4-x^2}$, [/mm] so beginnen:
[mm]\frac{x^3+4x}{4-x^2}=\big((x-1)+1)^3+4\big((x-1)+1\big)\cdot \left(\frac{1}{4(x+2)}-\frac{1}{4(x-2)}\right)[/mm]
Den polynomialen Faktor [mm] $\big((x-1)+1)^3+4\big((x-1)+1\big)$ [/mm] formst Du einfach so um, dass jeweils gewisse Potenzen von $(x-1)$ stehen bleiben. Wenn Du noch berücksichtigst, dass gilt [mm] $\frac{1}{x-2}=\frac{1}{(x-1)-1}=-\frac{1}{1-(x-1)}=-\sum_{n=0}^\infty (x-1)^n$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{x+2}=\frac{1}{(x-1)+3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\left(-\frac{x-1}{3}\right)}=\frac{1}{3}\cdot\sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{x-1}{3}\right)^n=\cdots$, [/mm] solltest Du relativ leicht zum Ziel kommen.
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